センター試験 数学I・数学A 2018年度追試 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$a$ を正の実数とする。このとき、実数 $x$ に関する次の条件 $p,q,r$ を考える。
\begin{eqnarray}
\ p &:& |x-1|\leqq a, \\[5pt] \ q &:& |x|\leqq \frac{5}{2}, \\[5pt] \ r &:& x^2-2x\leqq a \\[5pt] \end{eqnarray}

(1) 次の $\mybox{シ}$, $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 $a=1$ のとき、 $p$ は $q$ であるための $\myBox{シ}$ 。また、 $a=3$ のとき、 $p$ は $q$ であるための $\myBox{ス}$

 0: 必要条件であるが、十分条件ではない
 1: 十分条件であるが、必要条件ではない
 2: 必要十分条件である
 3: 必要条件でも十分条件でもない

(2) 命題「 $p \implies q$ 」が真となるような $a$ の最大値は $\dfrac{\myBox{セ}}{\myBox{ソ}}$ である。また、命題「 $q \implies p$ 」が真となるような $a$ の最小値は $\dfrac{\myBox{タ}}{\myBox{チ}}$ である。

(3) 命題「 $r \implies q$ 」が真となるような $a$ の最大値は $\dfrac{\myBox{ツ}}{\myBox{テ}}$ である。

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考え方

$a$ の値によって、条件 $p$ を満たす範囲が変わります。これに加え、命題と集合の関係を考えながら解いていく問題です。数直線をかいて考えるといいでしょう。

最後に突然出てくる $r$ は少し難しいです。条件 $p$ と似た形に変形する方法もありますし、二次関数のグラフを使って解くこともできますが、ハードルは高めです。