センター試験 数学I・数学A 2018年度追試 第4問 [2] 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1)10進法の分数 $\dfrac{\myBox{キ}}{9}$ を10進法の小数で表すと循環小数 $0.\dot{5}$ となり、3進法の小数で表すと有限小数 $0.\myBox{クケ}_{(3)}$ となる。
 
(2) ある有理数 $x$ を2進法で表すと循環小数 $0.\dot{1}\dot{0}_{(2)}$ となった。このとき、 $4x$ を2進法で表すと $\myBox{コサ}.\dot{1}\dot{0}_{(2)}$ となる。2進法の $\mybox{コサ}_{(2)}$ を10進法で表すと $\myBox{シ}$ となるので、 $4x-x$ を10進法で表すと $\mybox{シ}$ となる。したがって、 $x$ の10進法の分数で表すと $\dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}}$ となる。
 
(3) 3進法で表すと小数第3位までで終わる有理数 $x$ のうち、 $x^2\lt\dfrac{1}{7}$ を満たす最大の $x$ を3進法で表すと $0.\mybox{ソタチ}_{(3)}$ となる。

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考え方

(1) は循環小数を分数で表す方法です。これは基本的です。3進法への変換も基本的な問題です。

(2)は2進法で表された循環小数を10進法に変換する、という内容です。そんなに見かけるわけではないですが、(1)で用いたのと同じようにして解くことができます。 $4$ 倍する、というヒントもついているので親切です。

(3)は少し方向が変わって、 $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$ の近似値を考える問題です。 $\sqrt{2}$ は $1.4142\cdots$ と表せますが、なぜこのように表せたのかを思い出すと、解き方がひらめくかもしれません。ただ、小数第3位まで出すのは少しめんどくさいです。