センター試験 数学I・数学A 2018年度追試 第1問 [3] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$実数 $a$ は2次不等式 $a^2-3\lt a$ を満たすとする。このとき $a$ のとり得る値の範囲は\[
\frac{\myBox{ト}-\sqrt{\myBox{ナニ}}}{\myBox{ヌ}}\lt a \lt \frac{\mybox{ト}+\sqrt{\mybox{ナニ}}}{\mybox{ヌ}} \]である。

 $x$ の2次関数\[ f(x)=-x^2+1 \]を考える。

 $a^2-3\leqq x\leqq a$ における関数 $y=f(x)$ の最大値が $1$ であるような $a$ の値の範囲は\[ \myBox{ネ}\leqq a \leqq \sqrt{\myBox{ノ}} \]である。

 また、 $a^2-3\leqq x\leqq a$ における関数 $y=f(x)$ の最大値が $1$ で、最小値が $f(a)$ であるような $a$ の値の範囲は\[ \frac{\myBox{ハヒ}+\sqrt{\myBox{フヘ}}}{\myBox{ホ}} \leqq a \leqq \sqrt{\mybox{ノ}} \]である。

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考え方

1つ目は標準的な二次不等式の問題です。2つ目は、最大値が $1$ となるのは、区間がどうなっているときかを考えます。

最後は少し難しいです。左端での値と右端での値を比較すればいいのですが、それは難しいので別の方法を考えます。関数の値を直接使わずに最小値について考えるために条件をどう言い換えるかがポイントになります。