センター試験 数学I・数学A 2018年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\alpha=\dfrac{4}{4-\sqrt{7}}$ とする。 $\alpha$ の分母を有理化すると\[ \alpha=\dfrac{\myBox{アイ}+\myBox{ウ}\sqrt{\myBox{エ}}}{\myBox{オ}} \]となる。

 また、 $r$ を有理数とし\[ \beta=\frac{9-(r^2-3r)\sqrt{7}}{5} \]とする。

(1) 一般に、 $\sqrt{7}$ が無理数であることから、有理数 $p,q$ に対して\[ p+q\sqrt{7}=0 \iff p=q=\myBox{カ} \]が成り立つ。

(2) $\alpha-\beta$ が有理数ならば、 $r$ は\[ \frac{\mybox{ウ}}{\mybox{オ}}+\frac{r^2-3r}{\myBox{キ}} \]を満たす。このとき

 $r=\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}$ または $r=\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}$

である。ただし、 $\dfrac{\mybox{ク}}{\mybox{ケ}}$ と $\dfrac{\mybox{コ}}{\mybox{サ}}$ の解答の順序は問わない。

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考え方

有理化の計算は基本的なレベルです。(1)も有名なのですぐにわかるでしょう。

(2)は複雑な式に見えますが、有理数になるための条件を考えるなら、式の一部分だけを見ればいいことがわかります。

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