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センター試験 数学I・数学A 2018年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$$\alpha=\dfrac{4}{4-\sqrt{7} }$ とする。 $\alpha$ の分母を有理化すると\[ \alpha=\dfrac{\myBox{アイ}+\myBox{ウ}\sqrt{\myBox{エ} }}{\myBox{オ} } \]となる。

 また、 $r$ を有理数とし\[ \beta=\frac{9-(r^2-3r)\sqrt{7} }{5} \]とする。

(1) 一般に、 $\sqrt{7}$ が無理数であることから、有理数 $p,q$ に対して\[ p+q\sqrt{7}=0 \iff p=q=\myBox{カ} \]が成り立つ。

(2) $\alpha-\beta$ が有理数ならば、 $r$ は\[ \frac{\mybox{ウ} }{\mybox{オ} }+\frac{r^2-3r}{\myBox{キ} } \]を満たす。このとき

 $r=\dfrac{\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }$ または $r=\dfrac{\myBox{コ} }{\myBox{サ} }$

である。ただし、 $\dfrac{\mybox{ク} }{\mybox{ケ} }$ と $\dfrac{\mybox{コ} }{\mybox{サ} }$ の解答の順序は問わない。

考え方

有理化の計算は基本的なレベルです。(1)も有名なのですぐにわかるでしょう。

(2)は複雑な式に見えますが、有理数になるための条件を考えるなら、式の一部分だけを見ればいいことがわかります。


【必答問題】

解答編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$$\alpha=\dfrac{4}{4-\sqrt{7} }$ とする。 $\alpha$ の分母を有理化すると\[ \alpha=\dfrac{\myBox{アイ}+\myBox{ウ}\sqrt{\myBox{エ} }}{\myBox{オ} } \]となる。

 また、 $r$ を有理数とし\[ \beta=\frac{9-(r^2-3r)\sqrt{7} }{5} \]とする。

解説

\begin{eqnarray} \alpha &=& \frac{4}{4-\sqrt{7} } \\[5pt] &=& \frac{4(4+\sqrt{7})}{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})} \\[5pt] &=& \frac{16+4\sqrt{7} }{9} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

アイウエオ:16479

参考

【標準】分母に項が複数あるときの有理化

解答編 つづき

問題

(1) 一般に、 $\sqrt{7}$ が無理数であることから、有理数 $p,q$ に対して\[ p+q\sqrt{7}=0 \iff p=q=\myBox{カ} \]が成り立つ。

解説

$p+q\sqrt{7}=0$ が成り立っているとき、 $q\ne 0$ なら $\sqrt{7}=-\dfrac{p}{q}$ と書けてしまい、 $\sqrt{7}$ が無理数であることに矛盾します。なので、 $q=0$ となり、 $p=0$ もわかります。

逆に、 $p=q=0$ なら $p+q\sqrt{7}=0$ です。以上から、 $p+q\sqrt{7}=0$ と $p=q=0$ は同値です。

解答

カ:0

解答編 つづき

問題

(2) $\alpha-\beta$ が有理数ならば、 $r$ は\[ \frac{\mybox{ウ} }{\mybox{オ} }+\frac{r^2-3r}{\myBox{キ} } \]を満たす。このとき

 $r=\dfrac{\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }$ または $r=\dfrac{\myBox{コ} }{\myBox{サ} }$

である。ただし、 $\dfrac{\mybox{ク} }{\mybox{ケ} }$ と $\dfrac{\mybox{コ} }{\mybox{サ} }$ の解答の順序は問わない。

解説

\begin{eqnarray} & & \alpha-\beta \\[5pt] &=& \frac{16+4\sqrt{7} }{9}-\frac{9-(r^2-3r)\sqrt{7} }{5} \\[5pt] \end{eqnarray}であり、これが有理数ならば、 $\sqrt{7}$ を含む項の和は $0$ になっています。 $\sqrt{7}$ を含む項だけを抜き出して考えると \begin{eqnarray} \frac{4\sqrt{7} }{9}+\frac{(r^2-3r)\sqrt{7} }{5} \\[5pt] \end{eqnarray}が $0$ ということなので、\[ \frac{4}{9}+\frac{r^2-3r}{5}=0 \]となります。

このことから
\begin{eqnarray} \frac{4}{9}+\frac{r^2-3r}{5} &=& 0 \\[5pt] 20+9(r^2-3r) &=& 0 \\[5pt] 9r^2-27r+20 &=& 0 \\[5pt] (3r-4)(3r-5) &=& 0 \\[5pt] r &=& \frac{4}{3},\ \frac{5}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

クケ・コサ:43・53

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