センター試験 数学I・数学A 2018年度追試 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$数字1が書かれたカードが4枚、数字2が書かれたカードが2枚、数字5が書かれたカードが2枚、合計8枚のカードがある。

(1) 8枚のカードを一列に並べて8桁の整数を作る。

 このときできる8桁の整数の個数は全部で $\myBox{アイウ}$ 個である。さらに、次の条件(*)が満たされるときにできる8桁の整数を考える。

 (*)数字 $1$ が書かれた4枚のカードのどの2枚のカードも隣り合わない。

 この条件(*)は、例えば、 $\fbox{1}$ $\fbox{2}$ $\fbox{1}$ $\fbox{5}$ $\fbox{1}$ $\fbox{2}$ $\fbox{1}$ $\fbox{5}$ のとき満たされる。条件(*)が満たされるときにできる8桁の整数の個数は全部で $\myBox{エオ}$ 個である。

(2) 一般に、事象 $A$ の確率を $P(A)$ で表す。また、二つの事象 $A, B$ の積事象を $A\cap B$ と表す。

 8枚のカードからでたらめに3枚を取り出して袋に入れるという試行を $T_1$ とし、さらに、その3枚のカードが入った袋からでたらめに1枚のカードを取り出すという試行を $T_2$ とする。

 試行 $T_1$ において、袋の中の数字5が書かれたカードの枚数が0枚である事象を $A_0$ 、1枚である事象を $A_1$, 2枚である事象を $A_2$ とすると
\begin{eqnarray}
P(A_0) &=& \dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キク}}, \\[5pt] P(A_1) &=& \dfrac{\myBox{ケコ}}{\myBox{サシ}}, \\[5pt] P(A_2) &=& \dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セソ}} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

 試行 $T_2$ において数字5が書かれたカードが取り出されるという事象を $B$ とすると
\begin{eqnarray}
P(A_1\cap B) &=& \dfrac{\myBox{タ}}{\myBox{チツ}}, \\[5pt] P(A_2\cap B) &=& \dfrac{\myBox{テ}}{\myBox{トナ}} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

 以上のことから、試行 $T_2$ において数字5が書かれたカードが取り出されたとき、袋の中にもう1枚の数字5が書かれたカードが入っている条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}$ である。

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考え方

(1)の場合の数が、序盤のわりには難しいです。ただ、(2)とは独立しているので、できなくても進みましょう。

(2)は、誘導が丁寧なので、最後の条件付き確率までそれほど難しくはないでしょう。条件付き確率の求め方がわかっていれば、状況も計算もわかりやすいため、解きやすいと思います。