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センター試験 数学I・数学A 2018年度追試 第4問 [1] 解説

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【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 不定方程式\[ 23x-31y=2 \]の解となる自然数 $x,y$ の組で、 $x$ が最小になるのは\[ x=\myBox{アイ},\ y=\myBox{ウエ} \]である。

 $n=31\times\mybox{ウエ}$ とする。自然数 $n^3$ を $23$ で割ると余りは $\myBox{オカ}$ である。

考え方

大問4は[1]と[2]に分かれているため、不定方程式の問題は少ないです。が、すぐに埋められるところがないので、少し難易度が高くなっています。

前半は不定方程式の練習をしっかりしていれば解けるでしょう。後半は、前半で分かったことを使って解きましょう。


【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

 不定方程式\[ 23x-31y=2 \]の解となる自然数 $x,y$ の組で、 $x$ が最小になるのは\[ x=\myBox{アイ},\ y=\myBox{ウエ} \]である。

解説

\begin{eqnarray} 23x-31y &=& 2 \\[5pt] 23x-(23+8)y &=& 2 \\[5pt] 23(x-y)-8y &=& 2 \\[5pt] \end{eqnarray}です。 $23\cdot 1 -8\cdot 3=-1$ なので、 $23\cdot (-2)-8\cdot(-6)=2$ です。このことから、 $x-y=-2$, $y=-6$ とすれば、 $x,y$ はこの式を満たします。これを解くと $x=-8,y=-6$ です。

$23x-31y=2$ から $23\cdot(-8)-31\cdot(-6)=2$ を辺々引くと\[ 23(x+8)=31(y+6) \]が成り立ちます。 $23$ と $31$ は互いに素なので、この整数解は、整数 $k$ を用いて\[ x=31k-8,\ y=23k-6 \]と書けます。ともに自然数となり $x$ が最小となるのは $k=1$ のときなので、\[ x=23, y=17 \]と求められます。

解答

アイ:23
ウエ:17

参考

【応用】不定一次方程式 係数が大きい場合

解答編 つづき

問題

 $n=31\times\mybox{ウエ}$ とする。自然数 $n^3$ を $23$ で割ると余りは $\myBox{オカ}$ である。

解説

$23\cdot23-31\cdot17=2$ が成り立つので
\begin{eqnarray} n^3 &=& (31\cdot17)^3 \\[5pt] &=& (23\cdot23-2)^3 \\[5pt] \end{eqnarray}です。これを展開すると、 $23$ を含む項と $-8$ が出てきます。 $23$ を含む項は $23$ で割り切れるので、 $23m-8$ を $23$ で割った余りを考えればいいです( $m$ は自然数)。なので、余りは $15$ だとわかります。

解答

オカ:15

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