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センター試験 数学I・数学A 2018年度追試 第5問 [1] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 円に内接する四角形 ABCD の辺 AB の端点 A 側の延長と辺 CD の端点 D の側の延長が点 P で交わるとする。さらに、 $\mathrm{ PA }=x$, $\mathrm{ PB }=\sqrt{10}$ および $\mathrm{ PD }=1$ とする。このとき\[ \mathrm{ CD }=\sqrt{\myBox{アイ} }\ x-\myBox{ウ} \]である。

 対角線 ACBD の交点を Q、直線 PQ と辺 BC の交点を R とし\[
\dfrac{\mathrm{ RC } }{\mathrm{ BR } }=2 \]とする。このとき\[ x=\dfrac{\myBox{エ}\sqrt{\myBox{オカ} }}{\myBox{キ} } \]である。

考え方

第5問は2つに分かれていて、前半のパートは問題数が少ないです。定理を適用して後は計算するだけです。図も計算もそれほど複雑ではなく、ひねっている箇所はありません。


【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

 円に内接する四角形 ABCD の辺 AB の端点 A 側の延長と辺 CD の端点 D の側の延長が点 P で交わるとする。さらに、 $\mathrm{ PA }=x$, $\mathrm{ PB }=\sqrt{10}$ および $\mathrm{ PD }=1$ とする。このとき\[ \mathrm{ CD }=\sqrt{\myBox{アイ} }\ x-\myBox{ウ} \]である。

解説

方べきの定理から
\begin{eqnarray} \mathrm{ PA }\cdot \mathrm{ PB } &=& \mathrm{ PC } \cdot \mathrm{ PD } \\[5pt] x\cdot\sqrt{10} &=& \mathrm{ PC } \cdot 1 \\[5pt] \mathrm{ PC } &=& \sqrt{10}x \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 $\mathrm{ CD }=\mathrm{ PC }-\mathrm{ PD }=\sqrt{10}x-1$ です。

解答

アイウ:101

解答編 つづき

問題

 対角線 ACBD の交点を Q、直線 PQ と辺 BC の交点を R とし\[
\dfrac{\mathrm{ RC } }{\mathrm{ BR } }=2 \]とする。このとき\[ x=\dfrac{\myBox{エ}\sqrt{\myBox{オカ} }}{\myBox{キ} } \]である。

解説

チェバの定理から
\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{BA} }{\mathrm{AP} } \cdot \frac{\mathrm{PD} }{\mathrm{DC} } \cdot \frac{\mathrm{CR} }{\mathrm{RB} } &=& 1 \\[5pt] \frac{\sqrt{10}-x}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}x-1} \cdot 2 &=& 1 \\[5pt] 2\sqrt{10}-2x &=& \sqrt{10}x^2-x \\[5pt] \sqrt{10}x^2 +x -2\sqrt{10} &=& 0 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これより、 $x$ は \begin{eqnarray} x &=& \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\sqrt{10}\cdot(-2\sqrt{10})} }{2\sqrt{10} } \\[5pt] &=& \frac{-1\pm 9}{2\sqrt{10} } \\[5pt] \end{eqnarray}です。 $x\gt 0$ なので、 \begin{eqnarray} x &=& \dfrac{-1+9}{2\sqrt{10} } \\[5pt] &=& \dfrac{8\sqrt{10} }{20} \\[5pt] &=& \dfrac{2\sqrt{10} }{5} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

エオカキ:2105

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