センター試験 数学I・数学A 2016年度追試 第1問 [3] 解説

問題編

問題

　a, b は定数で、 $a\ne 0$ とする。 x の2次関数\[ y=a^2x^2-4ax+b \quad \cdots ① \]を考える。①のグラフの頂点の x 座標が1以上3以下になるような a の値の範囲は $\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \leqq a \leqq [ス]$ である。

　下の [セ] には、次の 0 ～ 4 のうちから当てはまるものを一つ選べ。
　0: $\gt$
　1: $\lt$
　2: $\geqq$
　3: $\leqq$
　4: $\ne$

　x の2次不等式\[ a^2x^2-4ax+b \lt 0 \quad \cdots ② \]の解が存在するような b の値の範囲は
　b[セ][ソ] である。また②の解が $1\lt x \lt 3$ になるような a, b の値は
　$a=$[タ],　$b=$[チ] である。

【広告】

2022共通テスト総合問題集 数学I・A (河合塾シリーズ)

”黒本”の通称で知られる本シリーズは、<全統共通テスト高2模試><全統共通テスト模試><全統プレ共通テスト><2021年度共通テスト第1日程>を収録しています。

著者：河合塾
出版社：河合出版
発売日：2021-06-11
ページ数：312 ページ
値段：￥1,210
(2021年09月 時点の情報です)

考え方

前半は、頂点に関する条件を考えるので、平方完成すればいいですね。文字が入っていて計算しづらいですが、落ち着いて計算しましょう。

中盤は判別式を用いてもいいですが、先ほどの平方完成の結果を使う方が早いでしょう。

最後はグラフをかいて考えると、どういう条件が答えになるかがわかりやすくなります。