センター試験 数学I・数学A 2016年度追試 第1問 [3] 解説

問題編

問題

 a, b は定数で、 $a\ne 0$ とする。 x の2次関数\[ y=a^2x^2-4ax+b \quad \cdots ① \]を考える。①のグラフの頂点の x 座標が1以上3以下になるような a の値の範囲は $\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \leqq a \leqq [ス]$ である。

 下の [セ] には、次の 0 ~ 4 のうちから当てはまるものを一つ選べ。
 0: $\gt$
 1: $\lt$
 2: $\geqq$
 3: $\leqq$
 4: $\ne$

 x の2次不等式\[ a^2x^2-4ax+b \lt 0 \quad \cdots ② \]の解が存在するような b の値の範囲は
 b[セ][ソ] である。また②の解が $1\lt x \lt 3$ になるような a, b の値は
 $a=$[タ], $b=$[チ] である。

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考え方

前半は、頂点に関する条件を考えるので、平方完成すればいいですね。文字が入っていて計算しづらいですが、落ち着いて計算しましょう。

中盤は判別式を用いてもいいですが、先ほどの平方完成の結果を使う方が早いでしょう。

最後はグラフをかいて考えると、どういう条件が答えになるかがわかりやすくなります。