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センター試験 数学I・数学A 2016年度追試 第1問 [3] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

問題編

問題

 a, b は定数で、 $a\ne 0$ とする。 x の2次関数\[ y=a^2x^2-4ax+b \quad \cdots ① \]を考える。①のグラフの頂点の x 座標が1以上3以下になるような a の値の範囲は $\displaystyle \frac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}} \leqq a \leqq \myBox{ス}$ である。

 下の $\mybox{セ}$ には、次の 0 ~ 4 のうちから当てはまるものを一つ選べ。

 0: $\gt$
 1: $\lt$
 2: $\geqq$
 3: $\leqq$
 4: $\ne$

 x の2次不等式\[ a^2x^2-4ax+b \lt 0 \quad \cdots ② \]の解が存在するような b の値の範囲は

 $b\ \myBox{セ}\ \myBox{ソ}$

である。また②の解が $1\lt x \lt 3$ になるような a, b の値は

 $a=\myBox{タ}$, $b=\myBox{チ}$

である。

考え方

前半は、頂点に関する条件を考えるので、平方完成すればいいですね。文字が入っていて計算しづらいですが、落ち着いて計算しましょう。

中盤は判別式を用いてもいいですが、先ほどの平方完成の結果を使う方が早いでしょう。

最後はグラフをかいて考えると、どういう条件が答えになるかがわかりやすくなります。


解答編

問題

 a, b は定数で、 $a\ne 0$ とする。 x の2次関数\[ y=a^2x^2-4ax+b \quad \cdots ① \]を考える。①のグラフの頂点の x 座標が1以上3以下になるような a の値の範囲は $\displaystyle \frac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}} \leqq a \leqq \myBox{ス}$ である。

解説

まずは頂点を求めるために平方完成をします。
\begin{eqnarray} y &=& a^2x^2-4ax+b \\[5pt] &=& a^2\left(x^2-\frac{4}{a}x\right)+b \\[5pt] &=& a^2\left(x^2-\frac{4}{a}x+\frac{4}{a^2}-\frac{4}{a^2}\right)+b \\[5pt] &=& a^2\left(x-\frac{2}{a}\right)^2 -4+b \\[5pt] \end{eqnarray}これから、頂点の x 座標が $\displaystyle \frac{2}{a}$ になることがわかります。これが1以上3以下になる範囲を考えます。このとき a は正でないといけないので、次のように変形できます。 \begin{eqnarray} 1 & \leqq \frac{2}{a} \leqq 3 \\[5pt] a & \leqq 2 \leqq 3a \\[5pt] \end{eqnarray}左の不等式から、 $a\leqq 2$ となり、右の不等式から $\displaystyle \frac{2}{3}\leqq a$ が得られます。この2つの共有部分が解なので、求める範囲は\[ \frac{2}{3} \leqq a \leqq 2 \] となります。

解答

サシス:233

参考

解答編 つづき

問題

 下の $\mybox{セ}$ には、次の 0 ~ 4 のうちから当てはまるものを一つ選べ。

 0: $\gt$
 1: $\lt$
 2: $\geqq$
 3: $\leqq$
 4: $\ne$

 x の2次不等式\[ a^2x^2-4ax+b \lt 0 \quad \cdots ② \]の解が存在するような b の値の範囲は

 $b\ \myBox{セ}\ \myBox{ソ}$

である。

解説

先ほどの平方完成の結果から、 $y=a^2x^2-4ax+b$ の頂点は $\left(\frac{a}{2},b-4\right)$ であることがわかります。2次不等式 $a^2x^2-4ax+b \lt 0$ の解が存在するときというのは、この頂点の y 座標が負であればいいので $b-4\lt 0$ 、つまり、\[ b\lt 4 \]のときであることがわかります。

解答

セソ:14

解答編 つづき

問題

また②の解が $1\lt x \lt 3$ になるような a, b の値は

 $a=\myBox{タ}$, $b=\myBox{チ}$

である。

解説

$a^2x^2-4ax+b \lt 0$ の解が $1\lt x \lt 3$ となるとき、グラフは次のようになっています。

$x=1,3$ を代入したときに、関数の値は0となります。

$x=1$ の場合を考えると $a^2-4a+b=0$ となり、 $x=3$ のときを考えると $9a^2-12a+b=0$ となります。辺々引くと、次のようになります。
\begin{eqnarray} (a^2-4a)-(9a^2-12a) &=& 0 \\ -8a^2+8a &=& 0 \\ a(a-1) &=& 0 \\ \end{eqnarray}ここで、 $a\ne 0$ なので、 $a=1$ が得られます。この結果を代入すれば \begin{eqnarray} 1-4+b &=& 0 \\ b &=& 3 \\ \end{eqnarray}が得られます。

解答

タチ:13

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