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センター試験 数学I・数学A 2016年度追試 第5問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

問題編

問題

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内心を O, 内接円 O と辺 BC の接点を H とする。辺 BC 上に点 D をとる。ただし、 DB, C と異なる点とする。

 $\triangle \mathrm{ ABD }$ の内心を P とし、内接円 P と辺 BD の接点を E とする。 $\triangle \mathrm{ ACD }$ の内心を Q とし、内接円 Q と辺 CD の接点を F とする。
 PQ を直径とする円と2点 D, H の間の関係で $\triangle \mathrm{ ABC }$ がどのような形でも成り立つものを調べる。

 次の $\mybox{オ}$ には、下の 0 ~ 3 のうちから当てはまるものを一つ選べ。
 $\displaystyle \angle \mathrm{ ADP }=\frac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}\angle \mathrm{ ADB }$, $\displaystyle \angle \mathrm{ ADQ }=\frac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}\angle \mathrm{ ADC }$ であるから、 PQ を直径とする円と点 D の関係について正しい選択肢は $\myBox{オ}$ である。

 0: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 D はその円の内部にある。
 1: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 D はその円周上である。
 2: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 D はその円の外部にある。
 3: D が辺 BC 上のどの位置にあるかに応じて、 D は、円の内部、円周上、円の外部のどの場合もある。


 次の $\mybox{カ}$ ~ $\mybox{サ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
\begin{eqnarray} \mathrm{ BH } &=& \frac{1}{2} (\mathrm{ AB }+\myBox{カ}-\myBox{キ}) \quad \cdots ① \\[5pt] \mathrm{ BE } &=& \frac{1}{2} (\mathrm{ AB }+\myBox{ク}-\myBox{ケ}) \quad \cdots ② \\[5pt] \mathrm{ DF } &=& \frac{1}{2} (\mathrm{ CD }+\myBox{コ}-\myBox{サ}) \quad \cdots ③ \\[5pt] \end{eqnarray}である。

 0: AC 1: AD 2: BC 3: BD


 次の $\mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 ① ~ ③ から、 $\mathrm{ EH }=\myBox{シ}$ であることがわかる。

 0: FQ 1: OP 2: $\frac{1}{2}$EP 3: DF


 次の $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 PQ の中点を J とする。 J を通り辺 BC に垂直な直線と BC の交点を K とすると、 KEF の中点であるから、 $\mathrm{ HK }=\myBox{ス}$ である。

 0: DK 1: $\frac{1}{2}$JK 2: EH 3: $\frac{1}{2}$FK


 次の $\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 $\mathrm{ HK }=\mybox{ス}$ に着目すると、 PQ を直径とする円と点 H の関係について、正しい選択肢は $\myBox{セ}$ である。

 0: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 H はその円の内部にある。
 1: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 H はその円周上である。
 2: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 H はその円の外部にある。
 3: D が辺 BC 上のどの位置にあるかに応じて、 H は、円の内部、円周上、円の外部のどの場合もある。

考え方

出てくる点が多く、考えにくいです。設問によって考えるべき点が異なるので、何度か図をかきなおしながら解くといいでしょう。

カ~サは、1つ解けたら使いまわすようにしましょう。終盤で出てくる J は円の中心であることに注意します。


解答編

問題

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内心を O, 内接円 O と辺 BC の接点を H とする。辺 BC 上に点 D をとる。ただし、 DB, C と異なる点とする。

 $\triangle \mathrm{ ABD }$ の内心を P とし、内接円 P と辺 BD の接点を E とする。 $\triangle \mathrm{ ACD }$ の内心を Q とし、内接円 Q と辺 CD の接点を F とする。
 PQ を直径とする円と2点 D, H の間の関係で $\triangle \mathrm{ ABC }$ がどのような形でも成り立つものを調べる。

 次の $\mybox{オ}$ には、下の 0 ~ 3 のうちから当てはまるものを一つ選べ。
 $\displaystyle \angle \mathrm{ ADP }=\frac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}\angle \mathrm{ ADB }$, $\displaystyle \angle \mathrm{ ADQ }=\frac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}\angle \mathrm{ ADC }$ であるから、 PQ を直径とする円と点 D の関係について正しい選択肢は $\myBox{オ}$ である。

 0: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 D はその円の内部にある。
 1: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 D はその円周上である。
 2: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 D はその円の外部にある。
 3: D が辺 BC 上のどの位置にあるかに応じて、 D は、円の内部、円周上、円の外部のどの場合もある。

解説

まずは図をかきましょう。

この問題では円 O は使わないので消しています。

P は $\triangle \mathrm{ ABD }$ の内心なので、\[ \angle \mathrm{ ADP }=\frac{1}{2}\angle \mathrm{ ADB } \]となります。また、同様にして\[ \angle \mathrm{ ADQ }=\frac{1}{2}\angle \mathrm{ ADC } \]もわかります。

この2つから
\begin{eqnarray} \angle \mathrm{ PDQ } &=& \angle \mathrm{ ADP } +\angle \mathrm{ ADQ } \\ &=& \frac{1}{2} (\angle \mathrm{ ADB } +\angle \mathrm{ ADC } ) \\ &=& 90^{\circ} \end{eqnarray}が得られます。このことから、 DPQ を直径とする円周上にあることがわかります。

解答

アイ:12
ウエ:12
オ:1

解答編 つづき

問題

 次の $\mybox{カ}$ ~ $\mybox{サ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
\begin{eqnarray} \mathrm{ BH } &=& \frac{1}{2} (\mathrm{ AB }+\myBox{カ}-\myBox{キ}) \quad \cdots ① \\[5pt] \mathrm{ BE } &=& \frac{1}{2} (\mathrm{ AB }+\myBox{ク}-\myBox{ケ}) \quad \cdots ② \\[5pt] \mathrm{ DF } &=& \frac{1}{2} (\mathrm{ CD }+\myBox{コ}-\myBox{サ}) \quad \cdots ③ \\[5pt] \end{eqnarray}である。

 0: AC 1: AD 2: BC 3: BD

解説

まずは、 BH から考えます。

OAB, ACとの接点をそれぞれ S, T と置きます。

ここで、円 O が内接円なので、 $\mathrm{ BH }=\mathrm{ BS }$ などが成り立つことを用いて
\begin{eqnarray} \mathrm{ BH } &=& \mathrm{ BC } -\mathrm{ CH } \\ &=& \mathrm{ BC } -\mathrm{ CT } \\ &=& \mathrm{ BC } -(\mathrm{ AC }-\mathrm{ AT }) \\ &=& \mathrm{ BC } -\mathrm{ AC }+\mathrm{ AS } \\ &=& \mathrm{ BC } -\mathrm{ AC }+ (\mathrm{ AB }-\mathrm{ BS }) \\ &=& \mathrm{ BC } -\mathrm{ AC }+ \mathrm{ AB }-\mathrm{ BH } \\ \end{eqnarray}が成り立つので、 \begin{eqnarray} 2\mathrm{ BH } &=& \mathrm{ BC } -\mathrm{ AC }+ \mathrm{ AB } \\ \mathrm{ BH } &=& \frac{1}{2} (\mathrm{ AB }+\mathrm{ BC } -\mathrm{ AC }) \\ \end{eqnarray}が成り立ちます。

同じように考えれば他も求められます。

上の結果より BH を含む辺を足し、含まない辺を引いていることがわかるので、対応を考えると、
\begin{eqnarray} \mathrm{ BE } &=& \frac{1}{2} (\mathrm{ AB }+\mathrm{ BD } -\mathrm{ AD }) \\[5pt] \mathrm{ DF } &=& \frac{1}{2} (\mathrm{ CD }+\mathrm{ AD } -\mathrm{ AC }) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

カキ:20
クケ:31
コサ:10

解答編 つづき

問題

 次の $\mybox{シ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 ① ~ ③ から、 $\mathrm{ EH }=\myBox{シ}$ であることがわかる。

 0: FQ 1: OP 2: $\frac{1}{2}$EP 3: DF

①と②より
\begin{eqnarray} \mathrm{ EH } &=& \mathrm{ BH }-\mathrm{ BE } \\[5pt] &=& \frac{(\mathrm{ AB }+\mathrm{ BC } -\mathrm{ AC })-(\mathrm{ AB }+\mathrm{ BD } -\mathrm{ AD })}{2} \\[5pt] &=& \frac{ \mathrm{ BC }-\mathrm{ BD } +\mathrm{ AD } -\mathrm{ AC } }{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $\mathrm{ BC }-\mathrm{ BD }$ は CD と一致するので、③からこの式は DF と一致することがわかります。

解答

シ:3

解答編 つづき

問題

 次の $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 PQ の中点を J とする。 J を通り辺 BC に垂直な直線と BC の交点を K とすると、 KEF の中点であるから、 $\mathrm{ HK }=\myBox{ス}$ である。

 0: DK 1: $\frac{1}{2}$JK 2: EH 3: $\frac{1}{2}$FK

解説


KEF の中点になるので、 $\mathrm{ EK }=\mathrm{ FK }$ が成り立ちます。これと先ほど求めた $\mathrm{ EH }=\mathrm{ DF }$ を用いれば、
\begin{eqnarray} \mathrm{ HK } &=& \mathrm{ EK }-\mathrm{ EH } \\ &=& \mathrm{ FK }-\mathrm{ DF } \\ &=& \mathrm{ DK } \\ \end{eqnarray}が得られます。

解答

ス:0

 次の $\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 $\mathrm{ HK }=\mybox{ス}$ に着目すると、 PQ を直径とする円と点 H の関係について、正しい選択肢は $\myBox{セ}$ である。

 0: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 H はその円の内部にある。
 1: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 H はその円周上である。
 2: D が辺 BC 上のどの位置にあっても、 H はその円の外部にある。
 3: D が辺 BC 上のどの位置にあるかに応じて、 H は、円の内部、円周上、円の外部のどの場合もある。

解説

見方を変えると JPQ を直径とする円の中心であることがわかります。また、$\mathrm{ HK }=\mathrm{ DK }$ より $\triangle \mathrm{ JKH }$ と $\triangle \mathrm{ JKD }$ は合同になります。よって、 $\mathrm{ JH }=\mathrm{ JD }$ です。 D はこの円周上にあるので、 H も同じくこの円周上にあることがわかります。

解答

セ:1

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