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センター試験 数学I・数学A 2016年度追試 第1問 [2] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

問題編

問題

 $\sqrt{21}$ の整数部分は $\myBox{キ}$ である。
 $\sqrt{21}$, $\sqrt{23}$, $\sqrt{31}$ の小数部分をそれぞれ a, b, c とするとき\[ a-c=\myBox{ク}+\sqrt{21}-\sqrt{31} \]であり
\begin{eqnarray} & & \left(\mybox{ク}+\sqrt{21}-\sqrt{31}\right) \left(\mybox{ク}+\sqrt{21}+\sqrt{31}\right) (9+2\sqrt{21}) \\ &=& \myBox{ケ} \end{eqnarray}となる。

 次の $\mybox{コ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 $\myBox{コ}$ が成り立つ。

 0: $a \lt b \lt c$
 1: $b \lt c \lt a$
 2: $c \lt a \lt b$
 3: $a \lt c \lt b$
 4: $c \lt b \lt a$
 5: $b \lt a \lt c$

考え方

コを求めるときに、ケをどう使えばいいかがポイントです。「3つの積のうち、1つ目の正負を知りたい」という気持ちがあれば、ひらめくでしょう。


解答編

問題

 $\sqrt{21}$ の整数部分は $\myBox{キ}$ である。

解説

$n^2 \leqq 21 \lt (n+1)^2$ となる整数 n を見つければいいですね。いくつか試行錯誤すると、\[ 4^2 \leqq 21 \lt 5^2 \]であることが見つけられるので、 $\sqrt{21}$ の整数部分は $4$ であることがわかります。

解答

キ:4

解答編 つづき

問題

 $\sqrt{21}$, $\sqrt{23}$, $\sqrt{31}$ の小数部分をそれぞれ a, b, c とするとき\[ a-c=\myBox{ク}+\sqrt{21}-\sqrt{31} \]であり
\begin{eqnarray} & & \left(\mybox{ク}+\sqrt{21}-\sqrt{31}\right) \left(\mybox{ク}+\sqrt{21}+\sqrt{31}\right) (9+2\sqrt{21}) \\ &=& \myBox{ケ} \end{eqnarray}となる。

解説

先ほどと同じように考えると、\[ 5^2 \leqq 31 \lt 6^2 \]から $\sqrt{31}$ の整数部分は $5$ であることがわかります。

よって、 $a=\sqrt{21}-4$, $c=\sqrt{31}-5$ となります。

このことから
\begin{eqnarray} a-c &=& (\sqrt{21}-4)-(\sqrt{31}-5) \\ &=& 1+\sqrt{21} -\sqrt{31} \\ \end{eqnarray}となることがわかります。

また、
\begin{eqnarray} & & (1+\sqrt{21} -\sqrt{31})(1+\sqrt{21} +\sqrt{31}) \\ &=& (1+\sqrt{21})^2 -(\sqrt{31})^2 \\ &=& 1+2\sqrt{21}+21 -31 \\ &=& 2\sqrt{21} -9 \\ \end{eqnarray}なので、与えられた式の値は次のように計算できます。 \begin{eqnarray} & & (1+\sqrt{21}-\sqrt{31}) (1+\sqrt{21}+\sqrt{31}) (9+2\sqrt{21}) \\ &=& (2\sqrt{21}-9) (2\sqrt{21}+9) \\ &=& 4\times 21 -81 \\ &=& 3 \end{eqnarray}

解答

ク:1
ケ:3

解答編 つづき

問題

 次の $\mybox{コ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 $\myBox{コ}$ が成り立つ。

 0: $a \lt b \lt c$
 1: $b \lt c \lt a$
 2: $c \lt a \lt b$
 3: $a \lt c \lt b$
 4: $c \lt b \lt a$
 5: $b \lt a \lt c$

解説

先ほど求めた ケ の意味が少しわかりにくいかもしれません。もう一度、結果だけ書いてみます。\[ (1+\sqrt{21}-\sqrt{31}) (1+\sqrt{21}+\sqrt{31}) (9+2\sqrt{21}) =3 \]この1つ目のカッコの中は、 $a-c$ のことでしたね。そして、2つ目のカッコ、3つ目のカッコの中は正です。この3つを掛けた結果も正の値です。このことから、1つ目のカッコの中も正、ということがわかるんですね。つまり、\[ a \gt c \]となります。この使い方は気づきにくいかもしれません。

$4^2 \leqq 23 \lt 5^2$ なので、 $b=\sqrt{23}-4$ です。 $a=\sqrt{21}-4$ なので、 $b\gt a$ もわかります。この2つを合わせると、 $c\lt a \lt b$ が得られます。

解答

コ:2

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