【標準】三角関数の値

ここでは、角度から三角関数の値を求めたり、三角関数の値から角度を求める問題を見ていきます。

角度から三角関数の値を求める

例題1
次の値を求めなさい。
(1) $\sin \dfrac{7}{6}\pi$
(2) $\cos \left(-\dfrac{1}{2}\pi\right)$
(3) $\tan \dfrac{100}{3}\pi$

基本的には、単位円をかいて考えます。すると、 $\sin \dfrac{7}{6}\pi$ は次の点を考えればいいことがわかります。

弧度法に慣れていないうちは、「 $\pi$ が180°のこと」だと考え、「×180°」をして変換してもいいでしょう。つまり、今の場合なら、210°を考えてもいいです。図から、 $\sin \dfrac{7}{6}\pi=-\dfrac{1}{2}$ だとわかります。

$\cos \left(-\dfrac{1}{2}\pi\right)$ は、マイナスの角なので、時計回りに考えます。

図から、 $\cos \left(-\dfrac{1}{2}\pi\right)=0$ だとわかります。

最後の $\tan \dfrac{100}{3}\pi$ を考えましょう。これは、【基本】一般角の三角関数と鋭角の三角関数で見た、「 $\theta+2n\pi$ の三角関数の値と、 $\theta$ の三角関数の値は等しい」ということを用いましょう(回転を考えればわかることですが)。\[ \dfrac{100}{3}\pi=\dfrac{4}{3}\pi+16\times 2\pi \]なので、 $\tan \dfrac{100}{3}\pi$ は、 $\tan \dfrac{4}{3}\pi$ と同じ値になります。

図から、傾きを考えて、 $\tan \dfrac{100}{3}\pi=\sqrt{3}$ となることがわかります。

三角関数の値から角度を求める

例題2
$0\leqq \theta\lt 2\pi$ のとき、次の満たす $\theta$ を求めなさい。
(1) $\sin\theta=-\dfrac{1}{2}$
(2) $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$
(3) $\tan\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

これも、単位円をかいて考えます。 $\sin\theta=-\dfrac{1}{2}$ は、単位円の中で、 y 座標が $-\dfrac{1}{2}$ になるときを考えればいいですね。

図より、(1)の解は、 $\theta=\dfrac{7}{6}\pi, \dfrac{11}{6}\pi$ となります。

$\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ は、 x 座標を考えればいいですね。

図より、(2)の解は、 $\theta=\dfrac{1}{3}\pi, \dfrac{5}{3}\pi$ となります。

最後の $\tan\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ は、原点を通り、傾きが $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ となる直線を考えましょう。

図より、(3)の解は、 $\theta=\dfrac{5}{6}\pi, \dfrac{11}{6}\pi$ となります。

このように、三角関数の値から角度を求める場合は、単位円を考えるようにします。

なお、今の例題では、「 $0\leqq \theta\lt 2\pi$ のとき」という条件が付いていました。もし、これがついていなければ、式を満たす一般角をすべて答えないといけません。そのときは、次のようにします。

まず、(1)の場合は、それぞれの解に、 $2\pi$ を足したり引いたりしたものも解になります。【基本】一般角の三角関数と鋭角の三角関数で見たように、「 $\theta+2n\pi$ の三角関数の値と、 $\theta$ の三角関数の値は等しい」からですね。よって、\[ \theta=\dfrac{7}{6}\pi+2n\pi, \dfrac{11}{6}\pi+2n\pi \ (nは整数) \]と答えることになります。(2)も同様に\[ \theta=\dfrac{1}{3}\pi+2n\pi, \dfrac{5}{3}\pi+2n\pi \ (nは整数) \]と答えます。

(3)も同じように答えられるのですが、少し簡潔にできます。というのも、上のリンク先で見たように、\[ \tan(\theta+\pi)=\tan\theta \]が成り立つので、次のようにまとめることができるからです。\[ \theta=\dfrac{5}{6}\pi+n\pi \ (nは整数) \]$2n\pi$ ではなく、 $n\pi$ になっていることに注意しましょう。先ほどの 「 $0\leqq \theta\lt 2\pi$ のとき」の答えは、それぞれ $n=0$, $n=1$ のときに対応しています。

おわりに

ここでは、角度と三角関数の値に関する問題を見ました。単位円をかいて考えるようにしましょう。また、弧度法の扱いに徐々に慣れていくようにしましょう。一般角で答えるときの方法も、身につけておきましょう。