【基本】弧度法

ここでは、弧度法やラジアンについて見ていきます。

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三角関数の定義の復習

【基本】三角関数の定義では、一般角に対して三角関数を定義しました。 $\mathrm{ O }(0,0)$ を中心に $\mathrm{ A }(1,0)$ を反時計回りに $\theta$ だけ回転したときに、 $\mathrm{ P }(x,y)$ に移るとすると、\[ \sin\theta=y, \cos\theta=x,\tan=\dfrac{y}{x} \]となるのでしたね( $x=0$ のとき、 $\tan$ は定義しない)。角度を決めるとこれらの値が決まる、つまり、関数なので、これらを三角関数と呼ぶのでした。

三角比を三角関数と呼ぶようになりましたが、三角関数の世界では、他にも角度の単位が変わります。以下で、見ていきましょう。

弧度法

もともと、角度は、一周の $\dfrac{1}{360}$ を $1^{\circ}$ とした単位で考えていました。例えば、直角は90°となります。このようにして角度を表す方法を、度数法といいます。

今後は、半径が $1$ のの長さを使って、中心角の角度を表す方法を使っていきます。単位には、ラジアン(radian) というものを使います。弧の長さと角の大きさは比例することを利用するわけですね。

例えば、一周であれば、弧の長さ(=円周)は $2\pi$ なので、一周の角は $2\pi$ ラジアン、となります。また、直角であれば、 $\dfrac{\pi}{2}$ ラジアン、となります。

このような角度の表し方を、弧度法といいます。

慣れるまでは難しいかもしれませんが、三角関数の世界では、弧度法を使っていきます。

度数法と弧度法の変換

度数法では一周が $360^{\circ}$ であり、弧度法では $2\pi$ ラジアンとなります。これを基準にして、度数法で表されたいろんな角度を、弧度法に変換してみましょう。

例えば、 $30^{\circ}$ であれば、一周の $\dfrac{1}{12}$ なので、 $\dfrac{\pi}{6}$ ラジアンとなります。 $120^{\circ}$ であれば、一周の $\dfrac{1}{3}$ なので、 $\dfrac{2\pi}{3}$ ラジアンとなります。

半周の $180^{\circ}$ は、 $\pi$ ラジアン、となります。

さらに大きい角度や、負の角度のときも同じで、 $360^{\circ}$ と $2\pi$ ラジアンが同じことを利用すれば、変換することができます。同じことですが、 $180^{\circ}$ と $\pi$ ラジアンが同じことを利用してもいいでしょう。例えば、 $540^{\circ}=3\pi$ ラジアンであり、 $-75^{\circ}=-\dfrac{5}{12}$ ラジアン、となります。

なお、一般的に、単位である「ラジアン」は省略されることが多いです。「ラジアン」は、「弧の長さと半径との比」と考えることもできるので、(単位のない)実数として扱うこともある、ということです。

今後は、角度に対して「°」が使われていない場合は、弧度法で表された角度として考えましょう。

なぜ弧度法を考えるのか

さて、ここで見てきた、弧度法やラジアンですが、なぜこんなものを考える必要があるのでしょうか。単位が増えただけで、めんどくさそうですよね。

弧度法を導入する一番大きなメリットは、以下の極限が使えるようになるから、です。\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \]この証明はもっと後になって出てきます。というよりも、残念ながら、人によっては、出くわすことなく高校数学が終わってしまうこともあります(現在の指導要領では、数学IIIの極限のところで出てきます)。

別の場所で見るように、弧の長さやおうぎ形の面積がきれいに書ける、というメリットや、三角関数に「°を使った数字」ではなく実数を入れることができる、という点はありますが、弧度法による大きな恩恵を受けるのは当分先のことになってしまいます。

おわりに

ここでは、弧度法について見てきました。慣れるまで、変換しないとどういう角かがわからないと思いますが、今後は頻繁に出てくるので自然と慣れていくでしょう。