2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。
【必答問題】
問題編
問題
$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$a$ を定数とする。座標平面上に、原点を中心とする半径 $5$ の円 C と、直線 $\ell:x+y=a$ がある。
$C$ と $\ell$ が異なる2点で交わるための条件は、\[ \myBox{ア}\sqrt{\myBox{イ}} \lt a \mybox{ア}\sqrt{\mybox{イ}} \quad \cdots ① \]である。①の条件を満たすとき、 $C$ と $\ell$ の交点の一つを $\mathrm{P}(s,t)$ とする。このとき、\[st=\dfrac{a^2-\myBox{ウエ}}{\myBox{オ}}\]である。
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著者：上園信武
出版社：旺文社
発売日：2020-02-20
ページ数：300 ページ
値段：￥1,210
(2020年09月 時点の情報です)
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考え方
前半は、原点が中心なので、直線の方程式を円の方程式に代入するよりも簡単な方法で解けます。
後半は、一瞬、何をすればいいかわかりませんが、 $s,t$ がどんな式を満たすかをよく見れば、式の値を計算する問題です。
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特に、私立大に出題が多い小問集合が確実にクリアできる力がつきます。