2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。
【必答問題】
問題編
問題
$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$a$ を定数とする。関数 $f(x)$ に対し、 $\displaystyle S(x)=\int_a^x f(t)dt$ とおく。このとき、関数 $S(x)$ の増減から $y=f(x)$ のグラフの概形を考えよう。
(1) $S(x)$ は3次関数であるとし、 $y=S(x)$ のグラフは次の図のように、2点 $(-1,0)$, $(0,4)$ を通り、点 $(2,0)$ で $x$ 軸に接しているとする。
このとき、\[ S(x)=\left(x+\myBox{ア}\right)\left(x+\myBox{イ}\right)^{\myBox{ウ}} \]である。 $S(a)=\myBox{エ}$ であるから、 $a$ を負の定数とするとき、 $a=\myBox{オカ}$ である。
関数 $S(x)$ は $x=\myBox{キ}$ を境に増加から減少に移り、 $x=\myBox{ク}$ を境に減少から増加に移っている。したがって、関数 $f(x)$ について、 $x=\mybox{キ}$ のとき $\myBox{ケ}$ であり、 $x=\mybox{ク}$ のとき $\myBox{コ}$ である。また、 $\mybox{キ}\lt x\lt \mybox{ク}$ の範囲では $\myBox{サ}$ である。
$\myBox{ケ}$, $\myBox{コ}$, $\myBox{サ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ～ 4 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
0: $f(x)$ の値は $0$
1: $f(x)$ の値は正
2: $f(x)$ の値は負
3: $f(x)$ は極大
4: $f(x)$ は極小$y=f(x)$ のグラフの概形として最も適当なものを、次の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。 $\myBox{シ}$
(2) (1)からわかるように、関数 $S(x)$ の増減から $y=f(x)$ のグラフの概形を考えることができる。
$a=0$ とする。次の 0 ～ 4 は $y=S(x)$ のグラフの概形と $y=f(x)$ のグラフの概形の組である。このうち、 $\displaystyle S(x)=\int_a^x f(t)dt$ の関係と矛盾するものを二つ選べ。 $\myBox{ス}$
考え方
計算はほとんどないので、その点では楽です。ただ、定積分と微分との関係を理解していないと、どのように考えていけばわからない問題が並んでいます。
$S(x)$ を微分するとどうなるか、がわからなかったとしても、 $f(x)$ の値が正や負の区間で $S(x)$ がどのように変化するか、を考えることで解くこともできます。