2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。
【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)
（正規分布表は省略しています）
問題編
問題
$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$ある工場では、内容量が 100g と記載されたポップコーンを製造している。のり子さんが、この工場で製造されたポップコーン1袋を購入して調べたところ、内容量は 98g であった。のり子さんは「記載された内容量は誤っているのではないか」と考えた。そこで、のり子さんは、この工場で製造されたポップコーンを100袋購入して調べたところ、標本平均は 104g、標本の標準偏差は 2g であった。
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて25ページの正規分布表を用いてもよい。
(1) ポップコーン1袋の内容量を確率変数 $X$ で表すこととする。のり子さんの調査の結果をもとに、 $X$ は平均 104g、標準偏差 2g の正規分布に従うものとする。
このとき、 $X$ が 100g 以上 106g 以下となる確率は $0.\myBox{アイウ}$ であり、 $X$ が 98g 以下となる確率は $0.\myBox{エオカ}$ である。この 98g 以下となる確率は「コインを $\myBox{キ}$ 枚同時に投げたとき、すべて表が出る確率」に近い確率であり、起こる可能性が非常に低いことがわかる。 $\myBox{キ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ～ 4 のうちから一つ選べ。
0: 6
1: 8
2: 10
3: 12
4: 14のり子さんがポップコーンを購入した店では、この工場で製造されたポップコーン2袋をテープでまとめて売っている。ポップコーンを入れる袋は1袋当たり 5g であることがわかっている。テープでまとめられたポップコーン2袋分の重さを確率変数 $Y$ で表すとき、 $Y$ の平均を $m_Y$ 、標準偏差を $\sigma$ とおけば、 $m_Y=\myBox{クケコ}$ である。ただし、テープの重さはないものとする。
また、標準偏差 $\sigma$ と確率変数 $X, Y$ について、正しいものを、次の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。 $\myBox{サ}$
0: $\sigma=2$ であり、 $Y$ について $m_Y-2\leqq Y\leqq m_Y+2$ となる確率は、 $X$ について $102\leqq X\leqq 106$ となる確率と同じである。1: $\sigma=2\sqrt{2}$ であり、 $Y$ について $m_Y-2\sqrt{2}\leqq Y\leqq m_Y+2\sqrt{2}$ となる確率は、 $X$ について $102\leqq X\leqq 106$ となる確率と同じである。
2: $\sigma=2\sqrt{2}$ であり、 $Y$ について $m_Y-2\sqrt{2}\leqq Y\leqq m_Y+2\sqrt{2}$ となる確率は、 $X$ について $102\leqq X\leqq 106$ となる確率の $\sqrt{2}$ 倍である。
3: $\sigma=4$ であり、 $Y$ について $m_Y-2\leqq Y\leqq m_Y+2$ となる確率は、 $X$ について $102\leqq X\leqq 106$ となる確率と同じである。
4: $\sigma=4$ であり、 $Y$ について $m_Y-4\leqq Y\leqq m_Y+4$ となる確率は、 $X$ について $102\leqq X\leqq 106$ となる確率と同じである。
5: $\sigma=4$ であり、 $Y$ について $m_Y-4\leqq Y\leqq m_Y+4$ となる確率は、 $X$ について $102\leqq X\leqq 106$ となる確率の $4$ 倍である。
(2) 次にのり子さんは、内容量が 100g と記載されたポップコーンについて、内容量の母平均 $m$ の推定を行った。
のり子さんが調べた100袋の標本平均 104g、標本の標準偏差 2g をもとに考えるとき、小数第2位を四捨五入した信頼度（信頼係数）95% の信頼区間を次の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。 $\myBox{シ}$
0: $100.1\leqq m \leqq 107.9$
1: $102.0\leqq m \leqq 106.0$
2: $103.0\leqq m \leqq 105.0$
3: $103.6\leqq m \leqq 104.4$
4: $103.8\leqq m \leqq 104.2$
5: $103.9\leqq m \leqq 104.1$同じ標本をもとにした信頼度 99% の信頼区間について、正しいものを、次の 0 ～ 2 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ス}$
0: 信頼度 95% の信頼区間と同じ範囲である。
1: 信頼度 95% の信頼区間より狭い範囲になる。
2: 信頼度 95% の信頼区間より広い範囲になる。母平均 $m$ に対する信頼度 $D$ % の信頼区間を $A\leqq m \leqq B$ とするとき、この信頼区間の幅を $B-A$ と定める。
のり子さんは信頼区間の幅を $\mybox{シ}$ と比べて半分にしたいと考えた。そのための方法は2通りある。
一つは、信頼度を変えずに標本の大きさを $\myBox{セ}$ 倍にすることであり、もう一つは、標本の大きさを変えずに信頼度を $\myBox{ソタ}.\myBox{チ}$ % にすることである。
考え方
前半部分は、正規分布表を使うためにはどのような変換をしないといけないか、を考えながら解いていきます。
(2)は母平均の推定の問題で、よくあるものです。信頼区間をどのように求めるかがわかっていれば、(2)の後半部分も解けるはずです。