共通テスト 数学II・数学B 2017年度プレテスト 第5問 解説

2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

(正規分布表は省略しています)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$ある工場では、内容量が 100g と記載されたポップコーンを製造している。のり子さんが、この工場で製造されたポップコーン1袋を購入して調べたところ、内容量は 98g であった。のり子さんは「記載された内容量は誤っているのではないか」と考えた。そこで、のり子さんは、この工場で製造されたポップコーンを100袋購入して調べたところ、標本平均は 104g、標本の標準偏差は 2g であった。

 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて25ページの正規分布表を用いてもよい。

(1) ポップコーン1袋の内容量を確率変数 $X$ で表すこととする。のり子さんの調査の結果をもとに、 $X$ は平均 104g、標準偏差 2g の正規分布に従うものとする。

 このとき、 $X$ が 100g 以上 106g 以下となる確率は $0.\myBox{アイウ}$ であり、 $X$ が 98g 以下となる確率は $0.\myBox{エオカ}$ である。この 98g 以下となる確率は「コインを $\myBox{キ}$ 枚同時に投げたとき、すべて表が出る確率」に近い確率であり、起こる可能性が非常に低いことがわかる。 $\myBox{キ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: 6
 1: 8
 2: 10
 3: 12
 4: 14

 のり子さんがポップコーンを購入した店では、この工場で製造されたポップコーン2袋をテープでまとめて売っている。ポップコーンを入れる袋は1袋当たり 5g であることがわかっている。テープでまとめられたポップコーン2袋分の重さを確率変数 $Y$ で表すとき、 $Y$ の平均を $m_Y$ 、標準偏差を $\sigma$ とおけば、 $m_Y=\myBox{クケコ}$ である。ただし、テープの重さはないものとする。

 また、標準偏差 $\sigma$ と確率変数 $X, Y$ について、正しいものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。 $\myBox{サ}$
 
 0: $\sigma=2$ であり、 $Y$ について $m_Y-2\leqq Y\leqq m_Y+2$ となる確率は、 $X$ について $102\leqq X\leqq 106$ となる確率と同じである。

 1: $\sigma=2\sqrt{2}$ であり、 $Y$ について $m_Y-2\sqrt{2}\leqq Y\leqq m_Y+2\sqrt{2}$ となる確率は、 $X$ について $102\leqq X\leqq 106$ となる確率と同じである。

 2: $\sigma=2\sqrt{2}$ であり、 $Y$ について $m_Y-2\sqrt{2}\leqq Y\leqq m_Y+2\sqrt{2}$ となる確率は、 $X$ について $102\leqq X\leqq 106$ となる確率の $\sqrt{2}$ 倍である。

 3: $\sigma=4$ であり、 $Y$ について $m_Y-2\leqq Y\leqq m_Y+2$ となる確率は、 $X$ について $102\leqq X\leqq 106$ となる確率と同じである。

 4: $\sigma=4$ であり、 $Y$ について $m_Y-4\leqq Y\leqq m_Y+4$ となる確率は、 $X$ について $102\leqq X\leqq 106$ となる確率と同じである。

 5: $\sigma=4$ であり、 $Y$ について $m_Y-4\leqq Y\leqq m_Y+4$ となる確率は、 $X$ について $102\leqq X\leqq 106$ となる確率の $4$ 倍である。

 

(2) 次にのり子さんは、内容量が 100g と記載されたポップコーンについて、内容量の母平均 $m$ の推定を行った。

 のり子さんが調べた100袋の標本平均 104g、標本の標準偏差 2g をもとに考えるとき、小数第2位を四捨五入した信頼度(信頼係数)95% の信頼区間を次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。 $\myBox{シ}$

 0: $100.1\leqq m \leqq 107.9$
 1: $102.0\leqq m \leqq 106.0$
 2: $103.0\leqq m \leqq 105.0$
 3: $103.6\leqq m \leqq 104.4$
 4: $103.8\leqq m \leqq 104.2$
 5: $103.9\leqq m \leqq 104.1$

 同じ標本をもとにした信頼度 99% の信頼区間について、正しいものを、次の 0 ~ 2 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ス}$

 0: 信頼度 95% の信頼区間と同じ範囲である。
 1: 信頼度 95% の信頼区間より狭い範囲になる。
 2: 信頼度 95% の信頼区間より広い範囲になる。

 母平均 $m$ に対する信頼度 $D$ % の信頼区間を $A\leqq m \leqq B$ とするとき、この信頼区間の幅を $B-A$ と定める。

 のり子さんは信頼区間の幅を $\mybox{シ}$ と比べて半分にしたいと考えた。そのための方法は2通りある。

 一つは、信頼度を変えずに標本の大きさを $\myBox{セ}$ 倍にすることであり、もう一つは、標本の大きさを変えずに信頼度を $\myBox{ソタ}.\myBox{チ}$ % にすることである。

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考え方

前半部分は、正規分布表を使うためにはどのような変換をしないといけないか、を考えながら解いていきます。

(2)は母平均の推定の問題で、よくあるものです。信頼区間をどのように求めるかがわかっていれば、(2)の後半部分も解けるはずです。

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