共通テスト 数学II・数学B 2017年度プレテスト 第1問 [4] 解説

2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$先生と太郎と花子さんは、次の問題とその解答について話している。三人の会話を読んで、下の問いに答えよ。

【問題】
 $x,y$ を正の実数とするとき、 $\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right)$ の最小値を求めよ。

【解答A】
$x\gt 0$, $\dfrac{1}{y}\gt 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係により\[ x+\dfrac{1}{y} \geqq 2\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{y}} = 2\sqrt{\dfrac{x}{y}} \ \cdots ① \]$y\gt 0$, $\dfrac{4}{x}\gt 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係により\[ y+\dfrac{4}{x} \geqq 2\sqrt{y\cdot\dfrac{4}{x}} = 4\sqrt{\dfrac{y}{x}} \ \cdots ② \]である。①、②の両辺は正であるから、\[ \left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right) \geqq 2\sqrt{\dfrac{x}{y}} \cdot 4\sqrt{\dfrac{y}{x}}=8 \]よって、求める最小値は $8$ である。

 

【解答B】
\[ \left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right)=xy+\dfrac{4}{xy}+5 \]であり、 $xy\gt 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係により\[ xy+\dfrac{4}{xy}\geqq 2\sqrt{xy\cdot\dfrac{4}{xy}}=4 \]である。すなわち、\[ xy+\dfrac{4}{xy}+5\geqq 4+5=9 \]よって、求める最小値は $9$ である。

 

先生 「同じ問題なのに、解答Aと解答Bで答えが違っていますね。」
太郎 「計算が間違っているのかな。」
花子 「いや、どちらも計算は間違えていないみたい。」
太郎 「答えが違うということは、どちらかは正しくないということだよね。」
先生 「なぜ解答Aと解答Bで違う答えが出てしまったのか、考えてみましょう。」

花子 「実際に $x$ と $y$ に値を代入して調べてみよう。」
太郎 「例えば $x=1,y=1$ を代入してみると、 $\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right)$ の値は $2\times 5$ だから $10$ だ。」
花子 「 $x=2,y=2$ のときの値は $\dfrac{5}{2}\times 4=10$ になった。」
太郎 「 $x=2,y=1$ のときの値は $3\times 3=9$ になる。」

(太郎と花子、いろいろな値を代入して計算する)

花子 「先生、ひょっとして $\myBox{シ}$ ということですか。」
先生 「そのとおりです。よく気づきましたね。」
花子 「正しい最小値は $\myBox{ス}$ ですね。」

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考え方

これは、相加平均と相乗平均の関係を間違って使ってしまう、よくある例です。いつ最小値をとるかを考えればわかりやすいかもしれません。

ただ、この会話で花子が答えにたどりつける気はしません。相当、勘がよくないと、「ひょっとして…」とはなりません。