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共通テスト 数学II・数学B 2017年度プレテスト 第1問 [4] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【必答問題】

問題編

問題

 先生と太郎と花子さんは、次の問題とその解答について話している。三人の会話を読んで、下の問いに答えよ。

【問題】
 $x,y$ を正の実数とするとき、 $\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right)$ の最小値を求めよ。

【解答A】
$x\gt 0$, $\dfrac{1}{y}\gt 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係により\[ x+\dfrac{1}{y} \geqq 2\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{y} } = 2\sqrt{\dfrac{x}{y} } \ \cdots ① \]$y\gt 0$, $\dfrac{4}{x}\gt 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係により\[ y+\dfrac{4}{x} \geqq 2\sqrt{y\cdot\dfrac{4}{x} } = 4\sqrt{\dfrac{y}{x} } \ \cdots ② \]である。①、②の両辺は正であるから、\[ \left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right) \geqq 2\sqrt{\dfrac{x}{y} } \cdot 4\sqrt{\dfrac{y}{x} }=8 \]よって、求める最小値は $8$ である。

 

【解答B】
\[ \left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right)=xy+\dfrac{4}{xy}+5 \]であり、 $xy\gt 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係により\[ xy+\dfrac{4}{xy}\geqq 2\sqrt{xy\cdot\dfrac{4}{xy} }=4 \]である。すなわち、\[ xy+\dfrac{4}{xy}+5\geqq 4+5=9 \]よって、求める最小値は $9$ である。

 

先生 「同じ問題なのに、解答Aと解答Bで答えが違っていますね。」
太郎 「計算が間違っているのかな。」
花子 「いや、どちらも計算は間違えていないみたい。」
太郎 「答えが違うということは、どちらかは正しくないということだよね。」
先生 「なぜ解答Aと解答Bで違う答えが出てしまったのか、考えてみましょう。」

花子 「実際に $x$ と $y$ に値を代入して調べてみよう。」
太郎 「例えば $x=1,y=1$ を代入してみると、 $\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right)$ の値は $2\times 5$ だから $10$ だ。」
花子 「 $x=2,y=2$ のときの値は $\dfrac{5}{2}\times 4=10$ になった。」
太郎 「 $x=2,y=1$ のときの値は $3\times 3=9$ になる。」

(太郎と花子、いろいろな値を代入して計算する)

花子 「先生、ひょっとして $\myBox{シ}$ ということですか。」
先生 「そのとおりです。よく気づきましたね。」
花子 「正しい最小値は $\myBox{ス}$ ですね。」

考え方

これは、相加平均と相乗平均の関係を間違って使ってしまう、よくある例です。いつ最小値をとるかを考えればわかりやすいかもしれません。

ただ、この会話で花子が答えにたどりつける気はしません。相当、勘がよくないと、「ひょっとして…」とはなりません。


【必答問題】

解答編

問題

 先生と太郎と花子さんは、次の問題とその解答について話している。三人の会話を読んで、下の問いに答えよ。

【問題】
 $x,y$ を正の実数とするとき、 $\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right)$ の最小値を求めよ。

【解答A】
$x\gt 0$, $\dfrac{1}{y}\gt 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係により\[ x+\dfrac{1}{y} \geqq 2\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{y} } = 2\sqrt{\dfrac{x}{y} } \ \cdots ① \]$y\gt 0$, $\dfrac{4}{x}\gt 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係により\[ y+\dfrac{4}{x} \geqq 2\sqrt{y\cdot\dfrac{4}{x} } = 4\sqrt{\dfrac{y}{x} } \ \cdots ② \]である。①、②の両辺は正であるから、\[ \left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right) \geqq 2\sqrt{\dfrac{x}{y} } \cdot 4\sqrt{\dfrac{y}{x} }=8 \]よって、求める最小値は $8$ である。

 

【解答B】
\[ \left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right)=xy+\dfrac{4}{xy}+5 \]であり、 $xy\gt 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係により\[ xy+\dfrac{4}{xy}\geqq 2\sqrt{xy\cdot\dfrac{4}{xy} }=4 \]である。すなわち、\[ xy+\dfrac{4}{xy}+5\geqq 4+5=9 \]よって、求める最小値は $9$ である。

 

先生 「同じ問題なのに、解答Aと解答Bで答えが違っていますね。」
太郎 「計算が間違っているのかな。」
花子 「いや、どちらも計算は間違えていないみたい。」
太郎 「答えが違うということは、どちらかは正しくないということだよね。」
先生 「なぜ解答Aと解答Bで違う答えが出てしまったのか、考えてみましょう。」

花子 「実際に $x$ と $y$ に値を代入して調べてみよう。」
太郎 「例えば $x=1,y=1$ を代入してみると、 $\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right)$ の値は $2\times 5$ だから $10$ だ。」
花子 「 $x=2,y=2$ のときの値は $\dfrac{5}{2}\times 4=10$ になった。」
太郎 「 $x=2,y=1$ のときの値は $3\times 3=9$ になる。」

(太郎と花子、いろいろな値を代入して計算する)

花子 「先生、ひょっとして $\myBox{シ}$ ということですか。」
先生 「そのとおりです。よく気づきましたね。」
花子 「正しい最小値は $\myBox{ス}$ ですね。」

解説

解答Aをよく見てみましょう。相加平均と相乗平均の関係を使えば、確かに、次の2つの不等式
\begin{eqnarray} & & x+\dfrac{1}{y} \geqq 2\sqrt{\dfrac{x}{y} } \\[5pt] & & y+\dfrac{4}{x} \geqq 4\sqrt{\dfrac{y}{x} } \\[5pt] \end{eqnarray}は成り立ちます。また、これらを辺々掛けて得られる、次の不等式 \begin{eqnarray} \left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right) \geqq 8 \end{eqnarray}も成り立ちます。ただ、これは、「左辺が $8$ 以上の値とる」と言っているだけで、本当に $8$ の値をとるかどうかはわかりません。なので、最小値が $8$ と言えるかどうかは、この時点ではわかりません。

式をたどっていくと、最小値 $8$ をとるとすれば、先ほどの2つの不等式
\begin{eqnarray} & & x+\dfrac{1}{y} \geqq 2\sqrt{\dfrac{x}{y} } \\[5pt] & & y+\dfrac{4}{x} \geqq 4\sqrt{\dfrac{y}{x} } \\[5pt] \end{eqnarray}で、両方とも等号が成り立っていないといけません。上側の不等式の等号は $x=\dfrac{1}{y}$ のときに成り立ち、下側の不等式の等号は $y=\dfrac{4}{x}$ のときに成り立ちます。合わせると、「両方の不等式の等号が成り立つとすると、 $xy=1$ かつ $xy=4$ が成り立つ」となりますが、こんなことは起こりません。

2つの不等式で、2つとも等号が成り立つことはありえないのだから、解答Aで「 $8$ の値をとる」と結論付けていたところが間違いだとわかります。シに入るのは、2 です。

解答Bを見ると、\[ xy+\dfrac{4}{xy}+5\geqq 9 \]となっていますが、この等号は $xy=\dfrac{4}{xy}$ のとき、つまり、 $xy=2$ のときに成り立ちます。これは実際に起こりえます( $x=2,y=1$ とか)。つまり、解答Bからは、「9以上の値をとり、実際に9になることもある」ことがわかります。なので、最小値は $9$ です。

解答

シス:29

参考

【標準】相加・相乗平均の関係を使うときの注意点

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