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共通テスト 数学II・数学B 2017年度プレテスト 第4問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 四面体 OABC について、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ が成り立つための条件を考えよう。次の問いに答えよ。ただし、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\vec{a}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }=\vec{b}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }=\vec{c}$ とする。

(1) $\mathrm{O}(0,0,0)$, $\mathrm{A}(1,1,0)$, $\mathrm{B}(1,0,1)$, $\mathrm{C}(0,1,1)$ のとき、 $\vec{a}\cdot\vec{b}=\myBox{ア}$ となる。 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\ne\vec{0}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }\ne\vec{0}$ であることに注意すると、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BC } }=\myBox{イ}$ により $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ である。

(2) 四面体 OABC について、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ となるための必要十分条件を、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ウ}$

 0: $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}$
 1: $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$
 2: $\vec{b}\cdot\vec{c}=0$
 3: $|\vec{a}|^2=\vec{b}\cdot\vec{c}$

(3) $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ が常に成り立つ四面体を、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。 $\myBox{エ}$

 0: $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}$ であるような四面体 OABC

 1: $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}$ であるような四面体 OABC

 2: $\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}$ であるような四面体 OABC

 3: $\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ かつ $\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}$ であるような四面体 OABC

 4: $\mathrm{OC}=\mathrm{OA}$ かつ $\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}$ であるような四面体 OABC

 5: $\mathrm{OC}=\mathrm{OA}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}$ であるような四面体 OABC

(4) $\mathrm{OC}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ を満たす四面体 OABC について、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ が成り立つことを下のように証明した。

【証明】
線分 OA の中点を D とする。
$\overrightarrow{ \mathrm{ BD } }=\dfrac{1}{2}\left(\myBox{オ}+\myBox{カ}\right)$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\mybox{オ}-\mybox{カ}$ により $\overrightarrow{ \mathrm{ BD } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\dfrac{1}{2}\left\{\left|\ \mybox{オ}\ \right|^2-\left|\ \mybox{カ}\ \right|^2\right\}$ である。
また、 $\left|\ \mybox{オ}\ \right|=\left|\ \mybox{カ}\ \right|$ により $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BD } }=0$ である。
同様に、 $\myBox{キ}$ により $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ CD } }=0$ である、
このことから $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\ne \vec{0}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }\ne \vec{0}$ であることに注意すると、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BC } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot(\overrightarrow{ \mathrm{ BD } }-\overrightarrow{ \mathrm{ CD } })=0$ により $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ である。

(i) $\myBox{オ}$, $\myBox{カ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちからそれぞれ一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $\overrightarrow{ \mathrm{ BA } }$
 1: $\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }$
 2: $\overrightarrow{ \mathrm{ BD } }$
 3: $\overrightarrow{ \mathrm{ BO } }$

(ii) $\myBox{キ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: $|\overrightarrow{ \mathrm{ CO } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ CB } }|$
 1: $|\overrightarrow{ \mathrm{ CO } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ CA } }|$
 2: $|\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }|$
 3: $|\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ AC } }|$
 4: $|\overrightarrow{ \mathrm{ BO } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ BA } }|$

(5) (4)の証明は、 $\mathrm{OC}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ のすべての等号が成り立つことを条件として用いているわけではない。このことに注意して、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ が成り立つ四面体を、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ク}$

 0: $\mathrm{ OC }=\mathrm{ AC }$ かつ $\mathrm{ OB }=\mathrm{ AB }$ かつ $\mathrm{ OB }\ne\mathrm{ OC }$ であるような四面体 OABC

 1: $\mathrm{ OC }=\mathrm{ AB }$ かつ $\mathrm{ OB }=\mathrm{ AC }$ かつ $\mathrm{ OC }\ne\mathrm{ OB }$ であるような四面体 OABC

 2: $\mathrm{ OC }=\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }$ かつ $\mathrm{ OC }\ne\mathrm{ OB }$ であるような四面体 OABC

 3: $\mathrm{ OC }=\mathrm{ OB }=\mathrm{ AC }$ かつ $\mathrm{ OC }\ne\mathrm{ AB }$ であるような四面体 OABC

考え方

空間ベクトルの問題で、具体的な値は前半しか出てこないので少し考えづらいです。

選択肢を見ると、全部似たように見えてきます。内積をいろいろな表現で表して、条件をいろいろ言い換えていきましょう。


【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

 四面体 OABC について、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ が成り立つための条件を考えよう。次の問いに答えよ。ただし、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\vec{a}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }=\vec{b}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }=\vec{c}$ とする。

(1) $\mathrm{O}(0,0,0)$, $\mathrm{A}(1,1,0)$, $\mathrm{B}(1,0,1)$, $\mathrm{C}(0,1,1)$ のとき、 $\vec{a}\cdot\vec{b}=\myBox{ア}$ となる。 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\ne\vec{0}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }\ne\vec{0}$ であることに注意すると、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BC } }=\myBox{イ}$ により $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ である。

解説

ベクトルの成分がわかるので、成分を使って計算します。
\begin{eqnarray} \vec{a}\cdot\vec{b} &=& 1\cdot 1 +1\cdot 0+0\cdot 1=1 \end{eqnarray}となります。また、 $\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }=(-1,1,0)$ なので、 \begin{eqnarray} \mathrm{OA}\cdot\mathrm{BC} &=& 1\cdot(-1)+1\cdot 1+0\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \end{eqnarray}となり、どちらも $\vec{0}$ ではないから、2つのベクトルは互いに垂直に交わることがわかります。

解答

アイ:10

解答編 つづき

問題

(2) 四面体 OABC について、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ となるための必要十分条件を、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ウ}$

 0: $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}$
 1: $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$
 2: $\vec{b}\cdot\vec{c}=0$
 3: $|\vec{a}|^2=\vec{b}\cdot\vec{c}$

解説

選択肢は $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表されているので、これらを使って条件を言い換えていきます。

$\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\ne\vec{0}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }\ne\vec{0}$ なので、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ は $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BC } }=0$ と同値です。これは
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BC } } &=& 0 \\[5pt] \vec{a} \cdot (\vec{c}-\vec{b}) &=& 0 \\[5pt] \vec{a} \cdot \vec{b} &=& \vec{a} \cdot \vec{c} \\[5pt] \end{eqnarray}と同値になります。

解答

ウ:1

解答編 つづき

問題

(3) $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ が常に成り立つ四面体を、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。 $\myBox{エ}$

 0: $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}$ であるような四面体 OABC

 1: $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}$ であるような四面体 OABC

 2: $\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}$ であるような四面体 OABC

 3: $\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ かつ $\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}$ であるような四面体 OABC

 4: $\mathrm{OC}=\mathrm{OA}$ かつ $\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}$ であるような四面体 OABC

 5: $\mathrm{OC}=\mathrm{OA}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}$ であるような四面体 OABC

解説

選択肢には、線分の長さや角度があるので、これらが出てくるように条件を言い換えます。

(2)では、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ は $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ と同値であることを見ました。これを、ベクトルの大きさと角度で表すと
\begin{eqnarray} |\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }||\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }|\cos\angle \mathrm{ AOB } &=& |\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }||\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }|\cos\angle \mathrm{ AOC } \\[5pt] |\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }|\cos\angle \mathrm{ AOB } &=& |\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }|\cos\angle \mathrm{ AOC } \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できます。ここで、 $\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}$ ならば、この条件を満たすので、選択肢 2 が正しいことがわかります。

解答

エ:2

解答編 つづき

問題

(4) $\mathrm{OC}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ を満たす四面体 OABC について、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ が成り立つことを下のように証明した。

【証明】
線分 OA の中点を D とする。
$\overrightarrow{ \mathrm{ BD } }=\dfrac{1}{2}\left(\myBox{オ}+\myBox{カ}\right)$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\mybox{オ}-\mybox{カ}$ により $\overrightarrow{ \mathrm{ BD } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\dfrac{1}{2}\left\{\left|\ \mybox{オ}\ \right|^2-\left|\ \mybox{カ}\ \right|^2\right\}$ である。
また、 $\left|\ \mybox{オ}\ \right|=\left|\ \mybox{カ}\ \right|$ により $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BD } }=0$ である。
同様に、 $\myBox{キ}$ により $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ CD } }=0$ である、
このことから $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\ne \vec{0}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }\ne \vec{0}$ であることに注意すると、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BC } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot(\overrightarrow{ \mathrm{ BD } }-\overrightarrow{ \mathrm{ CD } })=0$ により $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ である。

(i) $\myBox{オ}$, $\myBox{カ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちからそれぞれ一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $\overrightarrow{ \mathrm{ BA } }$
 1: $\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }$
 2: $\overrightarrow{ \mathrm{ BD } }$
 3: $\overrightarrow{ \mathrm{ BO } }$

(ii) $\myBox{キ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: $|\overrightarrow{ \mathrm{ CO } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ CB } }|$
 1: $|\overrightarrow{ \mathrm{ CO } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ CA } }|$
 2: $|\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }|$
 3: $|\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ AC } }|$
 4: $|\overrightarrow{ \mathrm{ BO } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ BA } }|$

解説

D は線分 OA の中点なので、 B を始点としたベクトルを考えると\[ \overrightarrow{ \mathrm{ BD } }=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{ \mathrm{ BA } }+\overrightarrow{ \mathrm{ BO } }) \]が成り立ちます。また、このとき、\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\overrightarrow{ \mathrm{ BA } }-\overrightarrow{ \mathrm{ BO } } \]も成り立つので、オには 0、カには 3が入ります。 $\mathrm{ OB }=\mathrm{ AB }$ が等しいことを用いて、証明の通りに、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot\overrightarrow{ \mathrm{ BD } }=0$ が示せます。

BC に置き換えて同じようにすれば、 $\overrightarrow{ \mathrm{ CD } }=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{ \mathrm{ CA } }+\overrightarrow{ \mathrm{ CO } })$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\overrightarrow{ \mathrm{ CA } }-\overrightarrow{ \mathrm{ CO } }$ なので、
\begin{eqnarray} & & \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ CD } } \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\left\{\left|\ \overrightarrow{ \mathrm{ CA } }\ \right|^2-\left|\ \overrightarrow{ \mathrm{ CO } }\ \right|^2\right\} \\[5pt] \end{eqnarray}であり、 $\left|\overrightarrow{ \mathrm{ CA } }\ \right|=\left|\ \overrightarrow{ \mathrm{ CO } }\right|$ から、この内積が $0$ だとわかります。キに入るのは、 1 となります。

解答

オカキ:031

解答編 つづき

問題

(5) (4)の証明は、 $\mathrm{OC}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ のすべての等号が成り立つことを条件として用いているわけではない。このことに注意して、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ が成り立つ四面体を、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ク}$

 0: $\mathrm{ OC }=\mathrm{ AC }$ かつ $\mathrm{ OB }=\mathrm{ AB }$ かつ $\mathrm{ OB }\ne\mathrm{ OC }$ であるような四面体 OABC

 1: $\mathrm{ OC }=\mathrm{ AB }$ かつ $\mathrm{ OB }=\mathrm{ AC }$ かつ $\mathrm{ OC }\ne\mathrm{ OB }$ であるような四面体 OABC

 2: $\mathrm{ OC }=\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }$ かつ $\mathrm{ OC }\ne\mathrm{ OB }$ であるような四面体 OABC

 3: $\mathrm{ OC }=\mathrm{ OB }=\mathrm{ AC }$ かつ $\mathrm{ OC }\ne\mathrm{ AB }$ であるような四面体 OABC

解説

(4)の証明を読むと、前半では $\mathrm{ OB }=\mathrm{ AB }$ を使っており、後半では $\mathrm{ OC }=\mathrm{ AC }$ を使っています。これ以外の条件は使っていないので、これらの条件を満たすものを選択肢から探すと 0 が正しいことがわかります。

2 や 3 は前半部分が成り立つとすると、 $\mathrm{OC}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ でないとダメなので、後半が成り立ちません。

解答

ク:0

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