共通テスト 数学II・数学B 2017年度プレテスト 第4問 解説

2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$四面体 OABC について、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ が成り立つための条件を考えよう。次の問いに答えよ。ただし、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\vec{a}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }=\vec{b}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }=\vec{c}$ とする。

(1) $\mathrm{O}(0,0,0)$, $\mathrm{A}(1,1,0)$, $\mathrm{B}(1,0,1)$, $\mathrm{C}(0,1,1)$ のとき、 $\vec{a}\cdot\vec{b}=\myBox{ア}$ となる。 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\ne\vec{0}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }\ne\vec{0}$ であることに注意すると、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BC } }=\myBox{イ}$ により $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ である。

(2) 四面体 OABC について、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ となるための必要十分条件を、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ウ}$

 0: $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}$
 1: $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$
 2: $\vec{b}\cdot\vec{c}=0$
 3: $|\vec{a}|^2=\vec{b}\cdot\vec{c}$

(3) $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ が常に成り立つ四面体を、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。 $\myBox{エ}$

 0: $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}$ であるような四面体 OABC

 1: $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}$ であるような四面体 OABC

 2: $\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}$ であるような四面体 OABC

 3: $\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ かつ $\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}$ であるような四面体 OABC

 4: $\mathrm{OC}=\mathrm{OA}$ かつ $\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}$ であるような四面体 OABC

 5: $\mathrm{OC}=\mathrm{OA}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}$ であるような四面体 OABC

(4) $\mathrm{OC}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ を満たす四面体 OABC について、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ が成り立つことを下のように証明した。

【証明】
線分 OA の中点を D とする。

$\overrightarrow{ \mathrm{ BD } }=\dfrac{1}{2}\left(\myBox{オ}+\myBox{カ}\right)$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\mybox{オ}-\mybox{カ}$ により $\overrightarrow{ \mathrm{ BD } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=\dfrac{1}{2}\left\{\left|\ \mybox{オ}\ \right|^2-\left|\ \mybox{カ}\ \right|^2\right\}$ である。

また、 $\left|\ \mybox{オ}\ \right|=\left|\ \mybox{カ}\ \right|$ により $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BD } }=0$ である。

同様に、 $\myBox{キ}$ により $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ CD } }=0$ である、

このことから $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\ne \vec{0}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }\ne \vec{0}$ であることに注意すると、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ BC } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot(\overrightarrow{ \mathrm{ BD } }-\overrightarrow{ \mathrm{ CD } })=0$ により $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ である。

(i) $\myBox{オ}$, $\myBox{カ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちからそれぞれ一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $\overrightarrow{ \mathrm{ BA } }$
 1: $\overrightarrow{ \mathrm{ BC } }$
 2: $\overrightarrow{ \mathrm{ BD } }$
 3: $\overrightarrow{ \mathrm{ BO } }$

(ii) $\myBox{キ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: $|\overrightarrow{ \mathrm{ CO } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ CB } }|$
 1: $|\overrightarrow{ \mathrm{ CO } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ CA } }|$
 2: $|\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }|$
 3: $|\overrightarrow{ \mathrm{ AB } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ AC } }|$
 4: $|\overrightarrow{ \mathrm{ BO } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ BA } }|$

(5) (4)の証明は、 $\mathrm{OC}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ のすべての等号が成り立つことを条件として用いているわけではない。このことに注意して、 $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ が成り立つ四面体を、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ク}$

 0: $\mathrm{ OC }=\mathrm{ AC }$ かつ $\mathrm{ OB }=\mathrm{ AB }$ かつ $\mathrm{ OB }\ne\mathrm{ OC }$ であるような四面体 OABC

 1: $\mathrm{ OC }=\mathrm{ AB }$ かつ $\mathrm{ OB }=\mathrm{ AC }$ かつ $\mathrm{ OC }\ne\mathrm{ OB }$ であるような四面体 OABC

 2: $\mathrm{ OC }=\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }$ かつ $\mathrm{ OC }\ne\mathrm{ OB }$ であるような四面体 OABC

 3: $\mathrm{ OC }=\mathrm{ OB }=\mathrm{ AC }$ かつ $\mathrm{ OC }\ne\mathrm{ AB }$ であるような四面体 OABC

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考え方

空間ベクトルの問題で、具体的な値は前半しか出てこないので少し考えづらいです。

選択肢を見ると、全部似たように見えてきます。内積をいろいろな表現で表して、条件をいろいろ言い換えていきましょう。