共通テスト 数学II・数学B 2017年度プレテスト 第3問 解説

2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$次の文章を読んで、下の問いに答えよ。

 ある薬Dを服用したとき、有効成分の血液中の濃度(血中濃度)は一定の割合で減少し、 $T$ 時間が経過すると $\dfrac{1}{2}$ 倍になる。薬Dを1錠服用すると、服用直後の血中濃度は $P$ だけ増加する。時間 $0$ で血中濃度が $P$ であるとき、血中濃度の変化は次のグラフで表される。適切な効果が得られる血中濃度の最小値を $M$ 、副作用を起こさない血中濃度の最大値を $L$ とする。

 薬Dについては、 $M=2$, $L=40$, $P=5$, $T=12$ である。

(1) 薬Dについて、12時間ごとに1錠ずつ服用するときの血中濃度の変化は次のグラフのようになる。

 $n$ を自然数とする。 $a_n$ は $n$ 回目の服用直後の血中濃度である。 $a_1$ は $P$ と一致すると考えてよい。第 $(n+1)$ 回目の服用直前には、血中濃度は第 $n$ 回目の服用直後から時間の経過に応じて減少しており、薬を服用した直後に血中濃度が $P$ だけ上昇する。この血中濃度が $a_{n+1}$ である。

 $P=5$, $T=12$ であるから、数列 $\{a_n\}$ の初項と漸化式は
\begin{eqnarray}
& & a_1=\myBox{ア}, \\[5pt] & & a_{n+1}=\dfrac{\myBox{イ}}{\myBox{ウ}}a_n +\myBox{エ}\quad (n=1,2,3,\cdots)
\end{eqnarray}となる。

 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めてみよう。

【考え方1】
 数列 $\{a_n-d\}$ が等比数列となるような定数 $d$ を求める。 $d=\myBox{オカ}$ に対して、数列 $\{a_n-d\}$ が公比 $\dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}$ の等比数列になることを用いる。

 

【考え方2】
 階差数列をとって考える。数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ が公比 $\dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コ}}$ の等比数列になることを用いる。

 

いずれの考え方を用いても、一般項を求めることができ、\[ a_n=\myBox{サシ} -\myBox{ス} \left( \dfrac{\myBox{セ}}{\myBox{ソ}} \right)^{n-1} \ (n=1,2,3,\cdots) \]である。


(2) 薬Dについては、 $M=2$, $L=40$ である。薬Dを12時間ごとに1錠ずつ服用する場合、 $n$ 回目の服用直前の血中濃度が $a_n-P$ であることに注意して、正しいものを、次の 0 ~ 5 のうちから二つ選べ。 $\myBox{タ}$

 0: 4回目の服用までは血中濃度が $L$ を超えないが、5回目の服用直後に血中濃度が $L$ を超える。

 1: 5回目の服用までは血中濃度が $L$ を超えないが、服用し続けるといつか必ず $L$ を超える。

 2: どれだけ継続して服用しても血中濃度が $L$ を超えることはない。

 3: 1回目の服用直後に血中濃度が $P$ に達して以降、血中濃度が $M$ を下回ることはないので、1回目の服用以降は適切な効果が持続する。

 4: 2回目までは服用直前に血中濃度が $M$ 未満になるが、2回目の服用以降は、血中濃度が $M$ を下回ることはないので、適切な効果が持続する。

 5: 5回目までは服用直前に血中濃度が $M$ 未満になるが、5回目の服用以降は、血中濃度が $M$ を下回ることはないので、適切な効果が持続する。


(3) (1)と同じ服用量で、服用間隔の条件のみを24時間に変えた場合の血中濃度を調べよう。薬Dを24時間ごとに1錠ずつ服用するときの、 $n$ 回目の服用直後の血中濃度を $b_n$ とする。 $n$ 回目の服用直前の血中濃度は $b_n-P$ である。最初の服用から $24n$ 時間経過後の服用直前の血中濃度である $a_{2n+1}-P$ と $b_{n+1}-P$ を比較する。 $b_{n+1}-P$ と $a_{2n+1}-P$ の比を求めると、\[ \dfrac{b_{n+1}-P}{a_{2n+1}-P}=\dfrac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}} \]となる。


(4) 薬Dを24時間ごとに $k$ 錠ずつ服用する場合には、最初の服用直後の血中濃度は $kP$ となる。服用量を変化させても $T$ の値は変わらないものとする。

 薬Dを12時間ごとに1錠ずつ服用した場合と24時間ごとに $k$ 錠ずつ服用した場合の血中濃度を比較すると、最初の服用から $24n$ 時間経過後の各服用直前の血中濃度が等しくなるのは、 $k=\myBox{テ}$ のときである。したがって、24時間ごとに $k$ 錠ずつ服用する場合の各服用直前の血中濃度を、12時間ごとに1錠ずつ服用する場合の血中濃度以上とするためには $k\geqq \mybox{テ}$ でなくてはならない。

 また、24時間ごとの服用量を $\mybox{テ}$ 錠にするとき、正しいものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ト}$

 0: 1回目の服用以降、服用直後の血中濃度が常に $L$ を超える。

 1: 4回目の服用直後までの血中濃度は $L$ 未満だが、5回目以降は服用直後の血中濃度が常に $L$ を超える。

 2: 9回目の服用直後までの血中濃度は $L$ 未満だが、10回目以降は服用直後の血中濃度が常に $L$ を超える。

 3: どれだけ継続して服用しても血中濃度が $L$ を超えることはない。

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考え方

見た目は生物ですが、よく見ると数列の問題です。問題文を読みこむのに時間はかかりますが、センター試験よりは計算量はだいぶ少ないです。

(1)は、漸化式を作って一般項を求めるという、よくある流れです。(2)は、(1)で求めた漸化式から考えます。

(3)は、この比が何を表しているのかわかりづらいですが、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めて計算します。

(4)は、(3)を使う方法もありますが、それに気づかなくても解くことはできます。

この問題を解けば、毎日朝と夜に1錠ずつ飲む薬を、毎朝まとめて2錠ずつ飲んだ場合に同じ効果が得られるのかどうか、理解できるでしょう。