共通テスト 数学II・数学B 2017年度プレテスト 第1問 [2] 解説
2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。
【必答問題】
問題編
問題
$a$ を $1$ でない正の実数とする。(i)～(iii)のそれぞれの式について、正しいものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(i) $\sqrt[4]{a^3}\times a^{\frac{2}{3} }=a^2$ $\myBox{カ}$
(ii) $\dfrac{(2a)^6}{(4a)^2}=\dfrac{a^3}{2}$ $\myBox{キ}$
(iii) $4(\log_2 a-\log_4 a) = \log_{\sqrt{2} } a$ $\myBox{ク}$
0: 式を満たす $a$ の値は存在しない。
1: 式を満たす $a$ の値はちょうど一つである。
2: 式を満たす $a$ の値はちょうど二つである。
3: どのような $a$ の値を代入しても成り立つ式である。
考え方
問題文に、「 $a$ は1でない正の実数」と書いてある点に注意しましょう。 $1$ や $0$ は除外されています。1つ1つの式を吟味していきましょう。
解答編
問題
$a$ を $1$ でない正の実数とする。(i)～(iii)のそれぞれの式について、正しいものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(i) $\sqrt[4]{a^3}\times a^{\frac{2}{3} }=a^2$ $\myBox{カ}$
(ii) $\dfrac{(2a)^6}{(4a)^2}=\dfrac{a^3}{2}$ $\myBox{キ}$
(iii) $4(\log_2 a-\log_4 a) = \log_{\sqrt{2} } a$ $\myBox{ク}$
0: 式を満たす $a$ の値は存在しない。
1: 式を満たす $a$ の値はちょうど一つである。
2: 式を満たす $a$ の値はちょうど二つである。
3: どのような $a$ の値を代入しても成り立つ式である。
解説
$a$ が1でない正の実数であることに注意して、1つ1つ確かめていきます。
(i) の左辺は、次のように変形できます。
\begin{eqnarray}
& &
\sqrt[4]{a^3}\times a^{\frac{2}{3} } \\[5pt]
&=&
a^{\frac{3}{4} }\times a^{\frac{2}{3} } \\[5pt]
&=&
a^{\frac{3}{4}+\frac{2}{3} } \\[5pt]
&=&
a^{\frac{17}{12} } \\[5pt]
\end{eqnarray}これが $a^2$ と一致するなら、 $a$ が $0$ か、 $a^{\frac{5}{12} }=1$ が成り立つことになりますが、今の条件ではそのような $a$ の値は存在しません。
(ii)は、次のように変形できます。
\begin{eqnarray}
\dfrac{(2a)^6}{(4a)^2} &=& \dfrac{a^3}{2} \\[5pt]
2\cdot 64a^6 &=& 16a^2 \cdot a^3 \\[5pt]
a &=& \frac{16}{2\cdot 64}=\dfrac{1}{8} \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、この式を満たす $a$ はちょうど1つだけ存在します。
(iii)は、底が異なっているので比較しづらいです。そのため、すべての底を $2$ に合わせましょう。
\begin{eqnarray}
4(\log_2 a-\log_4 a) &=& \log_{\sqrt{2} } a \\[5pt]
4\log_2 a-4\cdot \dfrac{\log_2 a}{\log_2 4} &=& \dfrac{\log_2 a}{\log_2 \sqrt{2} } \\[5pt]
4\log_2 a-4\cdot \dfrac{\log_2 a}{2} &=& \dfrac{\log_2 a}{\frac{1}{2} } \\[5pt]
2\log_2 a &=& 2\log_2 a \\[5pt]
\end{eqnarray}このようになります。つまり、両辺は同じ式で表すことができるので、どのような $a$ の値を代入しても成り立つことがわかります。
解答
カキク：013