センター試験 数学II・数学B 2018年度追試 第2問 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$a$ を正の実数とし、放物線 $y=3x^2$ を $C_1$ 、放物線 $y=2x^2+a^2$ を $C_2$ とする。 $C_1$ と $C_2$ の二つの共有点を $x$ 座標の小さい順に A, B とする。また、 $C_1$ と $C_2$ の両方に第1象限で接する直線を $\ell$ とする。

(1) B の座標を $a$ を用いて表すと $\left(\myBox{ア}, \myBox{イ} a^{\raise5pt\myBox{ウ}}\right)$ である。
 直線 $\ell$ と二つの放物線 $C_1$, $C_2$ の接点の $x$ 座標をそれぞれ s, t とおく。 $\ell$ は $x=s$ で $C_1$ と接するので、 $\ell$ の方程式は\[ y=\myBox{エ}sx-\myBox{オ} s^{\raise5pt\myBox{カ}} \]と表せる。同様に、 $\ell$ は $x=t$ で $C_2$ と接するので、 $\ell$ の方程式は\[ y=\myBox{キ}tx-\myBox{ク}t^{\raise5pt\mybox{カ}}+a^2 \]とも表せる。これらにより、 s, t は\[ s=\dfrac{\sqrt{\myBox{ケ}}}{\myBox{コ}}a,\quad t=\dfrac{\sqrt{\mybox{ケ}}}{\myBox{サ}}a \]である。
 放物線 $C_1$ の $s\leqq x \leqq \mybox{ア}$ の部分、放物線 $C_2$ の $\mybox{ア}\leqq x \leqq t$ の部分、 x 軸、および2直線 $x=s$, $x=t$ で囲まれた図形の面積は\[ \frac{\myBox{シ}\sqrt{\myBox{ス}}-\myBox{セ}}{\myBox{ソ}}a^{\raise5pt\myBox{タ}} \]である。

(2) 実数 p, q, r に対し、関数 $f(x)=x^3+px^2+qx+r$ を考える。 $f(x)$ は $x=-4$ で極値をとるとする。また、曲線 $y=f(x)$ は点 A, B および原点を通るとする。
 このとき、 $p=\myBox{チ}$, $q=\myBox{ツテト}$, $r=\myBox{ナ}$ であり、 $f(x)$ の極小値は $\myBox{ニヌネ}$ である。
 また、 $a=\myBox{ノ}\sqrt{\myBox{ハ}}$ であり、曲線 $y=f(x)$ と放物線 $C_2$ の共有点のうち、 A, B と異なる点の座標は $\left(\myBox{ヒフ},\myBox{ヘホ}\right)$ である。

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考え方

(1)の前半では、共通接線が問われています。2通りで表して係数比較、という流れで解いていきましょう。(1)の後半は文字を含んだ積分で、計算が大変です。 $a$ の指数がわかるのであれば、 $a=1$ としてしまって解く、という裏ワザ的な解き方でもいいでしょう。

(2)の前半では、関数の係数を求める問題です。原点を通るという条件、極値をとる条件は使いやすいですが、 A, B を通るという条件からどのようなことがわかるか、少し気づきにくいかもしれません。式の対称性を利用して計算しましょう。 $p$ を求めるのが少し難しいです。係数が分かれば後はそれほど難しくはないでしょう。