センター試験 数学II・数学B 2018年度追試 第2問 解説
【必答問題】
問題編
問題
$a$ を正の実数とし、放物線 $y=3x^2$ を $C_1$ 、放物線 $y=2x^2+a^2$ を $C_2$ とする。 $C_1$ と $C_2$ の二つの共有点を $x$ 座標の小さい順に A, B とする。また、 $C_1$ と $C_2$ の両方に第1象限で接する直線を $\ell$ とする。
(1) B の座標を $a$ を用いて表すと $\left(\myBox{ア}, \myBox{イ} a^{\raise5pt\myBox{ウ} }\right)$ である。
直線 $\ell$ と二つの放物線 $C_1$, $C_2$ の接点の $x$ 座標をそれぞれ s, t とおく。 $\ell$ は $x=s$ で $C_1$ と接するので、 $\ell$ の方程式は\[ y=\myBox{エ}sx-\myBox{オ} s^{\raise5pt\myBox{カ} } \]と表せる。同様に、 $\ell$ は $x=t$ で $C_2$ と接するので、 $\ell$ の方程式は\[ y=\myBox{キ}tx-\myBox{ク}t^{\raise5pt\mybox{カ} }+a^2 \]とも表せる。これらにより、 s, t は\[ s=\dfrac{\sqrt{\myBox{ケ} }}{\myBox{コ} }a,\quad t=\dfrac{\sqrt{\mybox{ケ} }}{\myBox{サ} }a \]である。
放物線 $C_1$ の $s\leqq x \leqq \mybox{ア}$ の部分、放物線 $C_2$ の $\mybox{ア}\leqq x \leqq t$ の部分、 x 軸、および2直線 $x=s$, $x=t$ で囲まれた図形の面積は\[ \frac{\myBox{シ}\sqrt{\myBox{ス} }-\myBox{セ} }{\myBox{ソ} }a^{\raise5pt\myBox{タ} } \]である。(2) 実数 p, q, r に対し、関数 $f(x)=x^3+px^2+qx+r$ を考える。 $f(x)$ は $x=-4$ で極値をとるとする。また、曲線 $y=f(x)$ は点 A, B および原点を通るとする。
このとき、 $p=\myBox{チ}$, $q=\myBox{ツテト}$, $r=\myBox{ナ}$ であり、 $f(x)$ の極小値は $\myBox{ニヌネ}$ である。
また、 $a=\myBox{ノ}\sqrt{\myBox{ハ} }$ であり、曲線 $y=f(x)$ と放物線 $C_2$ の共有点のうち、 A, B と異なる点の座標は $\left(\myBox{ヒフ},\myBox{ヘホ}\right)$ である。
考え方
(1)の前半では、共通接線が問われています。2通りで表して係数比較、という流れで解いていきましょう。(1)の後半は文字を含んだ積分で、計算が大変です。 $a$ の指数がわかるのであれば、 $a=1$ としてしまって解く、という裏ワザ的な解き方でもいいでしょう。
(2)の前半では、関数の係数を求める問題です。原点を通るという条件、極値をとる条件は使いやすいですが、 A, B を通るという条件からどのようなことがわかるか、少し気づきにくいかもしれません。式の対称性を利用して計算しましょう。 $p$ を求めるのが少し難しいです。係数が分かれば後はそれほど難しくはないでしょう。
【必答問題】
解答編
問題
$a$ を正の実数とし、放物線 $y=3x^2$ を $C_1$ 、放物線 $y=2x^2+a^2$ を $C_2$ とする。 $C_1$ と $C_2$ の二つの共有点を $x$ 座標の小さい順に A, B とする。また、 $C_1$ と $C_2$ の両方に第1象限で接する直線を $\ell$ とする。
(1) B の座標を $a$ を用いて表すと $\left(\myBox{ア}, \myBox{イ} a^{\raise5pt\myBox{ウ} }\right)$ である。
解説
B は、 $y=3x^2$ と $y=2x^2+a^2$ の交点のうち、 $x$ 座標が大きい方ですね。
交点の $x$ 座標は
\begin{eqnarray}
3x^2 &=& 2x^2+a^2 \\
x^2 &=& a^2 \\
x &=& \pm a \\
\end{eqnarray}です。 $a$ は正の実数なので、 B の $x$ 座標は $a$ であることがわかります。 B は $y=3x^2$ 上の点なので、B の座標は\[ (a,3a^2) \]となります。
解答
アイウ：a32
解答編 つづき
問題
直線 $\ell$ と二つの放物線 $C_1$, $C_2$ の接点の $x$ 座標をそれぞれ s, t とおく。 $\ell$ は $x=s$ で $C_1$ と接するので、 $\ell$ の方程式は\[ y=\myBox{エ}sx-\myBox{オ} s^{\raise5pt\myBox{カ} } \]と表せる。同様に、 $\ell$ は $x=t$ で $C_2$ と接するので、 $\ell$ の方程式は\[ y=\myBox{キ}tx-\myBox{ク}t^{\raise5pt\mybox{カ} }+a^2 \]とも表せる。これらにより、 s, t は\[ s=\dfrac{\sqrt{\myBox{ケ} }}{\myBox{コ} }a,\quad t=\dfrac{\sqrt{\mybox{ケ} }}{\myBox{サ} }a \]である。
解説
$y=3x^2$ を微分すると $y'=6x$ なので、点 $(s,3s^2)$ での接線の傾きは $6s$ です。 $\ell$ はこの点を通るので、
\begin{eqnarray}
y
&=&
6s(x-s)+3s^2 \\[5pt]
&=&
6sx-3s^2 \\
\end{eqnarray}となります。同様にして、 $y=2x^2+a^2$ を微分すると $y'=4x$ なので、点 $(t,2t^2+a^2)$ での接線の傾きは $4t$ だから、 $\ell$ の方程式は
\begin{eqnarray}
y
&=&
4t(x-t) +2t^2+a^2 \\[5pt]
&=&
4tx -2t^2+a^2 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
この2つは同じ式なので、係数が同じだから、 $6s=4t$, $-3s^2=-2t^2+a^2$ という2つの式が得られます。1つ目の式から $t=\dfrac{3}{2}s$ なので、これを2つ目の式に代入して
\begin{eqnarray}
-3s^2 &=& -2 \left(\dfrac{3}{2}s\right)^2+a^2 \\[5pt]
-3s^2 &=& -\dfrac{9}{2}s^2+a^2 \\[5pt]
\dfrac{3}{2}s^2 &=& a^2 \\[5pt]
s^2 &=& \dfrac{2}{3}a^2 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。 $a,s$ はともに正なので、\[ s=\frac{\sqrt{6} }{3}a \]となります。また、 $t=\dfrac{3}{2}s$ なので、\[ t=\dfrac{\sqrt{6} }{2}a \]と求められます。
解答
エオカ：632
キク：42
ケコサ：632
参考
解答編 つづき
問題
放物線 $C_1$ の $s\leqq x \leqq \mybox{ア}$ の部分、放物線 $C_2$ の $\mybox{ア}\leqq x \leqq t$ の部分、 x 軸、および2直線 $x=s$, $x=t$ で囲まれた図形の面積は\[ \frac{\myBox{シ}\sqrt{\myBox{ス} }-\myBox{セ} }{\myBox{ソ} }a^{\raise5pt\myBox{タ} } \]である。
解説
求める部分の面積は、下の色のついた部分です。
2か所に分けて計算しましょう。
\begin{eqnarray}
& &
\int_{\sqrt{6}a/3}^a 3x^2 dx \\
& & +\int_a^{\sqrt{6}a/2} (2x^2+a^2) dx \\[5pt]
&=&
\left[x^3\right]_{\sqrt{6}a/3}^a \\
& & + \left[ \dfrac{2}{3}x^3+a^2x \right]_a^{\sqrt{6}a/2} \\[5pt]
&=&
a^3-\frac{6\sqrt{6} }{27}a^3 \\
& & + \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{6\sqrt{6} }{8}a^3 +a^2\cdot\frac{\sqrt{6} }{2}a \\
& & -\dfrac{2}{3}a^3 -a^2\cdot a \\[5pt]
&=&
a^3-\frac{2\sqrt{6} }{9}a^3 \\
& & +\dfrac{\sqrt{6} }{2}a^3 +\frac{\sqrt{6} }{2}a^3 -\dfrac{5}{3}a^3 \\[5pt]
&=&
\frac{7\sqrt{6} }{9}a^3 -\dfrac{2}{3}a^3 \\[5pt]
&=&
\frac{7\sqrt{6}-6}{9}a^3 \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められます。
裏ワザ的な解き方ですが、 $a=1$ として計算してみてもいいでしょう。 $a^3$ が最後の式に残ることは途中でわかるので、あとはその係数だけが分かればいいですからね。
解答
シスセソ：7669
参考
解答編 つづき
問題
(2) 実数 p, q, r に対し、関数 $f(x)=x^3+px^2+qx+r$ を考える。 $f(x)$ は $x=-4$ で極値をとるとする。また、曲線 $y=f(x)$ は点 A, B および原点を通るとする。
このとき、 $p=\myBox{チ}$, $q=\myBox{ツテト}$, $r=\myBox{ナ}$ であり、 $f(x)$ の極小値は $\myBox{ニヌネ}$ である。
解説
まず、 $y=f(x)$ は原点を通るので、 $f(0)=0$ だから、 $r=0$ です。
また、 $f(x)$ は $x=-4$ で極値をとることから、 $f'(-4)=0$ となります。 $f'(x)$ を求めると
\begin{eqnarray}
f'(x)
&=&
3x^2+2px+q
\end{eqnarray}なので
\begin{eqnarray}
f'(-4) &=& 0 \\[5pt]
3\cdot(-4)^2+2p\cdot(-4)+q &=& 0 \\[5pt]
q &=& 8p-48 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
よって、 $f(x)=x^3+px^2+(8p-48)x$ となります。これが A, B も通るので、 $(-a,3a^2)$, $(a,3a^2)$ を通ることから
\begin{eqnarray}
3a^2 &=& a^3+pa^2+(8p-48)a \\[5pt]
3a^2 &=& -a^3+pa^2-(8p-48)a \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立ちます。両辺を辺々足せば
\begin{eqnarray}
6a^2 &=& 2pa^2
\end{eqnarray}となります。 $a$ は正だから、 $2a^2$ で割って、\[ p=3 \]が得られます。また、\[ q=8p-48=-24 \]となります。
$f(x)=x^3+3x^2-24x$ であることがわかりました。これより、\[ f'(x)=3x^2+6x-24=3(x+4)(x-2) \]なので、増減表は次のようになります。
\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -4 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array}増減表より、極小値は $x=2$ のときにとることがわかります。その値は \begin{eqnarray} f(2) &=& 8+12-48 &=& -28 \end{eqnarray}となります。解答
チ：3
ツテト：-24
ナ：0
ニヌネ：-28
参考
解答編 つづき
問題
また、 $a=\myBox{ノ}\sqrt{\myBox{ハ} }$ であり、曲線 $y=f(x)$ と放物線 $C_2$ の共有点のうち、 A, B と異なる点の座標は $\left(\myBox{ヒフ},\myBox{ヘホ}\right)$ である。
解説
$y=f(x)$ は点 $\mathrm{ B }(a,3a^2)$ を通るので、
\begin{eqnarray}
3a^2 &=& a^3+3a^2-24a \\[5pt]
a^3-24a &=& 0 \\[5pt]
a &=& 0,\pm 2\sqrt{6} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。 $a$ は正なので、 $a=2\sqrt{6}$ となります。
$y=f(x)$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は、
\begin{eqnarray}
x^3+3x^2-24x &=& 2x^2+24 \\[5pt]
x^3+x^2-24x-24 &=& 0 \\[5pt]
(x+1)(x^2-24) &=& 0 \\[5pt]
x &=& -1,\pm 2\sqrt{6} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。よって、 A, B と異なる交点の $x$ 座標は $-1$ で、 $y$ 座標は、\[ 2(-1)^2+24=26 \]となります。
解答
ノハ：26
ヒフヘホ：-126
