センター試験 数学II・数学B 2018年度追試 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$点O を原点とする座標空間に4点 $\mathrm{ A }(6,-1,1)$, $\mathrm{ B }(1,6,2)$, $\mathrm{ P }(2,-1,-1)$, $\mathrm{ Q }(0,1,-1)$ がある。3点 O, P, Q を通る平面を $\alpha$ とし、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }=\vec{p}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }=\vec{q}$ とおく。平面 $\alpha$ 上に点 M をとり、 $|\overrightarrow{ \mathrm{ AM } }|+|\overrightarrow{ \mathrm{ MB } }|$ が最小となるときの点 M の座標を求めよう。

(1) $|\vec{p}|=\sqrt{\myBox{ア}}$, $|\vec{q}|=\sqrt{\myBox{イ}}$ である。また、 $\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角は $\myBox{ウエ}^{\circ}$ である。

(2) $\vec{p}$ および $\vec{q}$ と垂直であるベクトルの一つとして\[ \vec{n}=\left(1, \myBox{オ}, \myBox{カ}\right) \]をとる。

 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }$ を実数 $r,s,t$ を用いて $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=r\vec{n}+s\vec{p}+t\vec{q}$ の形にしたときの $r,s,t$ を求めよう。

 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot\vec{n}=\myBox{キ}$, $\vec{n} \cdot \vec{n}=\myBox{ク}$, $\vec{n}\perp\vec{p}$, $\vec{n}\perp\vec{q}$ であることから、 $r=\myBox{ケ}$ となる。また、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot\vec{p}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot\vec{q}$ を考えることにより、 $s=\myBox{コ}$, $t=\myBox{サシ}$ であることがわかる。

 同様に、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }$ を実数 $u,v,w$ を用いて $\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }=u\vec{n}+v\vec{p}+w\vec{q}$ の形に表したとき、 $u=\myBox{ス}$ である。

(3) $r,s,t$ を(2)で求めた値であるとし、点 C は $\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }=-r\vec{n}+s\vec{p}+t\vec{q}$ となる点とする。 C の座標は\[ \left( \myBox{セ}, \myBox{ソタ}, \myBox{チツ} \right) \]である。また、線分 BC と平面 $\alpha$ との交点は、 BC を $3:\myBox{テ}$ に内分する。

 $\vec{n}\perp\vec{p}$, $\vec{n}\perp\vec{q}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }=r\vec{n}+s\vec{p}+t\vec{q}$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }=-r\vec{n}+s\vec{p}+t\vec{q}$ であることにより、線分 AC は平面 $\alpha$ に垂直であり、その中点は $\alpha$ 上にある。よって、 $\alpha$ 上の点 M について、 $|\overrightarrow{ \mathrm{ AM } }|=|\overrightarrow{ \mathrm{ CM } }|$ が成り立ち、 $|\overrightarrow{ \mathrm{ AM } }|+|\overrightarrow{ \mathrm{ MB } }|$ が最小となる M は線分 BC 上にある。したがって、求める M の座標は\[ \left( \dfrac{\myBox{ト}}{\myBox{ナ}}, \dfrac{\myBox{ニヌ}}{\myBox{ネ}}, \myBox{ノハ} \right) \]である。

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考え方

一見すると大変そうな感じがしますが、垂直なベクトルがたくさん出てくるので、計算は見た目ほどしんどくありません。内積をいろいろな表現で表して係数を決めていきましょう。

(3)は、テの部分は、ベクトルの理解が深くないと気づきにくいかもしれません。(2)の最後の内容がどう響いてくるのかをよく考えましょう。

(3)の最後は、詳細な説明がありますが、これを読んでパッと意味が分かるには、図形のセンスが必要でしょう。平面上で最短距離を求めるときにはよくやるテクニックですが、空間ではあまりやらないので、なかなかわかりにくいと思います。ただ、意味が分からなくても、問題文をよく読めば、BC と平面 $\alpha$ との交点を考えればいいということはわかりますが。