センター試験 数学II・数学B 2018年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$座標平面上に点$\mathrm{ A }(1,0)$, $\mathrm{ P }(\cos 2\theta,\sin 2\theta)$, $\mathrm{ Q }(2\cos 3\theta, 2\sin 3\theta)$ をとる。 $\theta$ が $\dfrac{\pi}{3}\leqq \theta\lt \pi$ の範囲を動くとき、 $\mathrm{ AP }^2+\mathrm{ PQ }^2$ の最大値と最小値を求めよう。

 $\mathrm{ AP }^2$ は
\begin{eqnarray}
\mathrm{ AP }^2
&=&
\myBox{ア}-\myBox{イ} \cos 2\theta \\[5pt] &=&
\myBox{ウ}-\myBox{エ} \cos^2 \theta \\[5pt] \end{eqnarray}である。また、 $\mathrm{ PQ }^2$ は\[ \mathrm{ PQ }^2=\myBox{オ}-\myBox{カ} \cos \theta \]である。

 $\dfrac{\pi}{3}\leqq \theta\lt \pi$ であるから、 $\myBox{キク}\lt \cos\theta\leqq \dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コ}}$ である。したがって、 $\mathrm{ AP }^2+\mathrm{ PQ }^2$ は、 $\theta=\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}\pi$ のとき最大値 $\myBox{スセ}$ をとり、 $\theta=\dfrac{\pi}{\myBox{ソ}}$ のとき最小値 $\myBox{タ}$ をとる。

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考え方

PQ の式変形が少し難しいかもしれません。3倍角があるからといって、3倍角の公式をいきなり使ってしまうと計算が大変になってしまいます。ここでの計算結果は後に響いてくるので、計算結果が間違っていないかどうか、 $\theta=0$ などとして、チェックすると安全です。

これを乗り越えるとかなり優しくなります。後半は、ほとんど二次関数の問題です。ソのところは、本来はサシのような式でもいいはずです。こうしたところにも優しさが見えます。