センター試験 数学II・数学B 2018年度追試 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

(注:正規分布表は省略しています)

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。

 ある菓子工場で製造している菓子1個あたりの重さ(単位はg)を表す確率変数を $X$ とし、 $X$ は平均 $m$ 、標準偏差 $\sigma$ の正規分布 $N(m, \sigma^2)$に従っているとする。

(1) 平均 $m$ が 50.2 で、標準偏差 $\sigma$ が 0.4 のとき、この菓子工場で製造される菓子1個あたりの重さが 50g 未満となる確率は、 $Z=\dfrac{X-m}{\sigma}$ が標準正規分布に従うので\[ P(X\lt 50) = P\left(Z\lt -\myBox{ア}.\myBox{イ}\right)=0.\myBox{ウエ} \]である。

(2) 標準偏差 $\sigma$ が 0.4 のとき、製造される菓子1個あたりの重さが 50g未満となる確率が 0.04 となるように $m$ の値を定めることを考える。まず、標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について、 $P(Z\lt z)$ が最も $0.04$ に近い値をとる $z$ を正規分布表から求めると $P\left(Z\lt -\myBox{オ}.\myBox{カキ}\right)=0.0401$ であることがわかり、 $z=-\mybox{オ}.\mybox{カキ}$ となる。よって\[ P\left(Z\lt -\mybox{オ}.\mybox{カキ}\right)=P(X\lt 50) \]と考えることにより、 $m$ を $\myBox{クケ}.\myBox{コ}$ とすればよい。

(3) この菓子工場では、製造された菓子を無作為に 9個選び箱に詰めて 1個の商品としている。 9個の菓子の重さ(単位はg)を表す確率変数を $X_1,X_2,\cdots,X_9$ とし、平均 $m$ は 50.2、標準偏差 $\sigma$ は 0.4、また、箱の重さはすべて同じで 80g とする。商品1個あたりの重さ(単位はg)を表す確率変数を $Y$ とすると、 $Y$ の平均は $\myBox{サシス}.\myBox{セ}$、 $Y$ の標準偏差は $\myBox{ソ}.\myBox{タ}$ である。

 $X_1,X_2,\cdots,X_9$ 標本平均 $\overline{X}$ が 50未満である確率を求めよう。標本平均の分布が正規分布であることを利用すると、 $\overline{X}$ の標準偏差が $\dfrac{0.4}{\myBox{チ}}$ であるので、確率は $0.\myBox{ツテ}$ となる。

(4) この菓子工場では、新しい機械を導入した。新しい機械については、標準偏差 $\sigma$ は 0.2 であるが、平均 $m$ はわかっていない。 $m$ を推定するために、この機械で 100個の菓子を試験的に製造したところ、それらの菓子の重さの標本平均は 50.10g であった。このとき、 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間は\[ 50.\myBox{トナ}\leqq m \leqq \myBox{ニヌ} \]となる。

 平均 $m$ に対する信頼区間 $A\leqq m \leqq B$ において、 $B-A$ をこの信頼区間の幅とよぶ。信頼度と標準偏差 $\sigma$ は変わらないものとして、上で求めた信頼区間の幅を半分にするには、標本の大きさを $\myBox{ネ}$ にすればよい。 $\myBox{ネ}$ に当てはまるものを、次の 0~5 のうちから一つ選べ。

 0: 25
 1: 50
 2: 150
 3: 200
 4: 300
 5: 400

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考え方

(1)(2)は、標準正規分布への変換、標準正規分布からの変換を計算する問題です。正規分布表を正しく見る必要があります。

(3)は、和や標本平均の分布についてです。(4)は母平均の推定で、基本的な内容です。