センター試験 数学II・数学B 2018年度追試 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$a を定数とする。 x の方程式\[ 4^{x+a}-2^{x+a}+a=0\quad \cdots ① \]がただ一つの解をもつとき、その解を求めよう。

(1) $X=2^x$ とおくと、 $X$ のとり得る値の範囲は $\myBox{チ}$ である。 $\myBox{チ}$ に当てはまるものを、次の 0~3 のうちから一つ選べ。

 0: $X\geqq 0$
 1: $X\gt 0$
 2: $X\geqq 1$
 3: $X\gt 1$

また、①を $X$ を用いて表すと、 $X$ の2次方程式\[ 2^{\raise5pt\myBox{ツテ}} X^2-2^{\raise5pt\myBox{ト}}X+a=0\quad \cdots ② \]となる。この2次方程式の判別式を $D$ とすると\[ D=2^{\raise5pt\mybox{ツテ}}\left(\myBox{ナ}-\myBox{ニ}a\right) \]である。

(2) $a=\dfrac{\mybox{ナ}}{\mybox{ニ}}$ のとき、②は $\mybox{チ}$ の範囲でただ一つの解をもつ。したがって、①もただ一つの解をもち、その解は $x=\dfrac{\myBox{ヌネ}}{\myBox{ノ}}$ である。

(3) $a\ne\dfrac{\mybox{ナ}}{\mybox{ニ}}$ のとき、②が $\mybox{チ}$ の範囲でただ一つの解をもつための必要十分条件は、 $\myBox{ハ}$ である。 $\myBox{ハ}$ に当てはまるものを、次の 0~5 のうちから一つ選べ。

 0: $a\gt 0$
 1: $a\lt 0$
 2: $a\geqq 0$
 3: $a\leqq 0$
 4: $a\gt \dfrac{\mybox{ナ}}{\mybox{ニ}}$
 5: $a\lt \dfrac{\mybox{ナ}}{\mybox{ニ}}$

$\mybox{ハ}$ のとき、①もただ一つの解をもち、その解は\[ x=\myBox{ヒ}a-\myBox{フ}+\log_2 \left(
\myBox{ヘ}+\sqrt{\mybox{ナ}-\mybox{ニ}a} \right) \]である。

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考え方

解答欄には、数字や符号だけでなく、文字も入る可能性があります。注意しましょう。

(3)の前半は、二次関数の内容が頭に入っていないと厳しいでしょう。後半もなかなか計算が煩雑です。