センター試験 数学II・数学B 2018年度追試 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

　a を定数とする。 x の方程式\[ 4^{x+a}-2^{x+a}+a=0\quad \cdots ① \]がただ一つの解をもつとき、その解を求めよう。

(1) $X=2^x$ とおくと、 $X$ のとり得る値の範囲は $\myBox{チ}$ である。 $\myBox{チ}$ に当てはまるものを、次の 0～3 のうちから一つ選べ。

　0: $X\geqq 0$
　1: $X\gt 0$
　2: $X\geqq 1$
　3: $X\gt 1$

また、①を $X$ を用いて表すと、 $X$ の2次方程式\[ 2^{\raise5pt\myBox{ツテ} } X^2-2^{\raise5pt\myBox{ト} }X+a=0\quad \cdots ② \]となる。この2次方程式の判別式を $D$ とすると\[ D=2^{\raise5pt\mybox{ツテ} }\left(\myBox{ナ}-\myBox{ニ}a\right) \]である。

(2) $a=\dfrac{\mybox{ナ} }{\mybox{ニ} }$ のとき、②は $\mybox{チ}$ の範囲でただ一つの解をもつ。したがって、①もただ一つの解をもち、その解は $x=\dfrac{\myBox{ヌネ} }{\myBox{ノ} }$ である。

(3) $a\ne\dfrac{\mybox{ナ} }{\mybox{ニ} }$ のとき、②が $\mybox{チ}$ の範囲でただ一つの解をもつための必要十分条件は、 $\myBox{ハ}$ である。 $\myBox{ハ}$ に当てはまるものを、次の 0～5 のうちから一つ選べ。

　0: $a\gt 0$
　1: $a\lt 0$
　2: $a\geqq 0$
　3: $a\leqq 0$
　4: $a\gt \dfrac{\mybox{ナ} }{\mybox{ニ} }$
　5: $a\lt \dfrac{\mybox{ナ} }{\mybox{ニ} }$

$\mybox{ハ}$ のとき、①もただ一つの解をもち、その解は\[ x=\myBox{ヒ}a-\myBox{フ}+\log_2 \left(
\myBox{ヘ}+\sqrt{\mybox{ナ}-\mybox{ニ}a} \right) \]である。

考え方

解答欄には、数字や符号だけでなく、文字も入る可能性があります。注意しましょう。

(3)の前半は、二次関数の内容が頭に入っていないと厳しいでしょう。後半もなかなか計算が煩雑です。

【必答問題】

解答編

問題

　a を定数とする。 x の方程式\[ 4^{x+a}-2^{x+a}+a=0\quad \cdots ① \]がただ一つの解をもつとき、その解を求めよう。

(1) $X=2^x$ とおくと、 $X$ のとり得る値の範囲は $\myBox{チ}$ である。 $\myBox{チ}$ に当てはまるものを、次の 0～3 のうちから一つ選べ。

　0: $X\geqq 0$
　1: $X\gt 0$
　2: $X\geqq 1$
　3: $X\gt 1$

解説

これはさすがにサービス問題ですね。 $x$ はすべての実数値を取りうるため、 $2^x$ の取りうる範囲は、正の実数全体です。 $X\gt 0$ ですね。

解答

チ：1

参考

【基本】指数関数の性質

解答編 つづき

問題

また、①を $X$ を用いて表すと、 $X$ の2次方程式\[ 2^{\raise5pt\myBox{ツテ} } X^2-2^{\raise5pt\myBox{ト} }X+a=0\quad \cdots ② \]となる。この2次方程式の判別式を $D$ とすると\[ D=2^{\raise5pt\mybox{ツテ} }\left(\myBox{ナ}-\myBox{ニ}a\right) \]である。

解説

$2^{x+a}=2^x\cdot 2^a=2^a X$ となります。また、\[ 4^{x+a}=2^{2x+2a}=2^{2a}X^2 \]なので、
\begin{eqnarray} 4^{x+a}-2^{x+a}+a &=& 0 \\[5pt] 2^{2a} X^2-2^a X+a &=& 0 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

この判別式が $D$ なので、
\begin{eqnarray} D &=& (-2^a)^2-4\cdot 2^{2a} \cdot a \\[5pt] &=& 2^{2a}-4a\cdot 2^{2a} \\[5pt] &=& 2^{2a}(1-4a) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

ツテ：2a
ト：a
ナニ：14

参考

【標準】指数の計算

解答編 つづき

問題

(2) $a=\dfrac{\mybox{ナ} }{\mybox{ニ} }$ のとき、②は $\mybox{チ}$ の範囲でただ一つの解をもつ。したがって、①もただ一つの解をもち、その解は $x=\dfrac{\myBox{ヌネ} }{\myBox{ノ} }$ である。

解説

$D=2^{2a}(1-4a)$ なので、 $a=\dfrac{1}{4}$ のときは判別式が $0$ となり、\[ 2^{2a} X^2-2^a X+a = 0 \]は、重解を持つことがわかります。二次方程式の解の公式から
\begin{eqnarray} X &=& -\dfrac{-2^a}{2\cdot 2^{2a} } \\[5pt] &=& \dfrac{2^a}{2^{1+2a} } \\[5pt] &=& 2^{a-(1+2a)} \\[5pt] &=& 2^{-a-1} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $a=\dfrac{1}{4}$ なので、 $X=2^{-\frac{5}{4} }$ となります。 $X=2^x$ だったので、 $x=-\dfrac{5}{4}$ と求められます。

解答

ヌネノ：-54

参考

【標準】指数関数と方程式

解答編 つづき

問題

(3) $a\ne\dfrac{\mybox{ナ} }{\mybox{ニ} }$ のとき、②が $\mybox{チ}$ の範囲でただ一つの解をもつための必要十分条件は、 $\myBox{ハ}$ である。 $\myBox{ハ}$ に当てはまるものを、次の 0～5 のうちから一つ選べ。

　0: $a\gt 0$
　1: $a\lt 0$
　2: $a\geqq 0$
　3: $a\leqq 0$
　4: $a\gt \dfrac{\mybox{ナ} }{\mybox{ニ} }$
　5: $a\lt \dfrac{\mybox{ナ} }{\mybox{ニ} }$

解説

$a\ne\dfrac{1}{4}$ のときを考えます。判別式は\[ D=2^{2a}(1-4a) \]なので、 $a\gt \dfrac{1}{4}$ であれば、 $D\lt 0$ となり、②を満たす実数解 $X$ は存在しません。なので、①を満たす実数解 $x$ も存在しないことになってしまいます。

一方、 $a\lt \dfrac{1}{4}$ であれば、判別式は $D\gt 0$ なので、②を満たす実数解 $X$ は2つ存在します。今、 $X\gt 0$ の範囲でただ一つの解をもつ場合を考えたいので、この2つの実数解のうち、片方が正で、片方が0以下であればいいですね。

こうなる場合を考えるために、 $y=2^{2a} X^2-2^a X+a$ のグラフについて考えてみましょう。 $X^2$ の係数が正なので、この2次関数のグラフは下に凸です。また、 $X$ の係数は負なので、放物線の軸は $y$ 軸よりも右にあることがわかります。よって、大きい方の解は必ず正になることがわかります。

なので、小さい方の解が0以下となればよく、そうなるためには、このグラフが $y$ 軸の $y\leqq 0$ の部分と交わればいいですね。つまり、 $a\leqq 0$ となります。逆に、このときは、グラフと $x$ 軸との交点は、正の部分と0以下の部分との2か所になります。

よって、ただ一つの解をもつための必要十分条件は、 $a\leqq 0$ となります。

この内容は、二次関数の分野の理解が必要です。

解答

ハ：3

参考

【応用】二次方程式が実数解を持つ条件（片方正、片方負）

解答編 つづき

問題

$\mybox{ハ}$ のとき、①もただ一つの解をもち、その解は\[ x=\myBox{ヒ}a-\myBox{フ}+\log_2 \left(
\myBox{ヘ}+\sqrt{\mybox{ナ}-\mybox{ニ}a} \right) \]である。

解説

まずは、②の解を求めます。\[ 2^{2a} X^2-2^a X+a = 0 \]の解は、解の公式を使って以下のように求められます。なお、ルートの中は判別式なので、(1)で求めた結果を使います。
\begin{eqnarray} X &=& \dfrac{-(-2^a)\pm\sqrt{2^{2a}(1-4a)} }{2\cdot 2^{2a} } \\[5pt] &=& \dfrac{2^a\pm2^a\sqrt{1-4a} }{2^{2a+1} } \\[5pt] &=& \dfrac{1\pm\sqrt{1-4a} }{2^{a+1} } \\[5pt] \end{eqnarray}となります。先ほど見た通り、大きい方が正で、小さい方が0以下なので、 $X=2^x$ となる $x$ に対応するものは、この解の大きい方です。よって、 $x$ は \begin{eqnarray} x &=& \log_2 \dfrac{1+\sqrt{1-4a} }{2^{a+1} } \\[5pt] &=& \log_2 (1+\sqrt{1-4a}) -\log_2 2^{a+1} \\[5pt] &=& \log_2 (1+\sqrt{1-4a}) -(a+1) \\[5pt] &=& -a-1+\log_2 (1+\sqrt{1-4a}) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

ヒフヘ：-11