センター試験 数学II・数学B 2018年度追試 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$s$ を定数とし、数列 $\{a_n\}$ を次のように定義する。\[ a_1=\dfrac{1}{2},\ a_{n+1}=\dfrac{2a_n+s}{a_n+2}\ (n=1,2,3,\cdots)\quad \cdots ① \]

(1) $s=4$ とする。 $a_2=\myBox{ア}$, $a_{100}=\myBox{イ}$ である。

(2) $s=0$ とする。 $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおくと、 $b_1=\myBox{ウ}$ である。さらに、 $b_n$ と $b_{n+1}$ は関係式 $b_{n+1}=b_n+\dfrac{\myBox{エ}}{\myBox{オ}}$ を満たすから、 $\{a_n\}$ の一般項は\[
a_n=\dfrac{\myBox{カ}}{n+\myBox{キ}} \]である。

(3) $s=1$ とする。 $c_n=\dfrac{1+a_n}{1-a_n}$ とおくと、 $c_1=\myBox{ク}$ である。さらに、 $c_n$ と $c_{n+1}$ の関係式を求め、数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めることにより、 $\{a_n\}$ の一般項は\[ a_n=\myBox{ケ}-\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}^{\raise5pt\myBox{シ}}+1} \]であることがわかる。ただし、 $\myBox{シ}$ については、当てはまるものを、次の 0~4 のうちから一つ選べ。

 0: $n-2$
 1: $n-1$
 2: $n$
 3: $n+1$
 4: $n+2$

(4) (3)の数列 $\{c_n\}$ について\[ \sum_{k=1}^n c_k c_{k+1}=\dfrac{\myBox{スセ}}{\myBox{ソ}}\left(\myBox{タ}^n-1\right) \]である。

 次に、(3)の数列 $a_n$ について考える。 $s=1$ であることに注意して、①の漸化式を変形すると\[ a_n a_{n+1}=\myBox{チ}(a_n-a_{n+1})+\myBox{ツ} \]である。ゆえに\[ \sum_{k=1}^n a_k a_{k+1}=\myBox{テ}+\dfrac{\myBox{ト}}{\mybox{サ}^{\raise5pt\myBox{ナ}}+\myBox{ニ}} \]である。ただし、 $\myBox{テ}$ と $\myBox{ナ}$ については、当てはまるものを、次の 0~4のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。

 0: $n-2$
 1: $n-1$
 2: $n$
 3: $n+1$
 4: $n+2$

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考え方

終始、計算力が必要な問題です。

(2)は、漸化式の逆数を考えてみましょう。(3)は、 $c_{n+1}$ と $c_n$ との関係を導くために、 $a_{n+1}$ と $a_n$ との関係を用います。 $c_n$ が求められても、そこから $a_n$ に変換しなければならず、なかなか大変です。 $n=1$ などとして、合っているか確認しながら進みましょう。

(4)の前半は、公比に注意しましょう。後半は、「足していくと打ち消し合う」という和を考えることになります。部分分数分解をして和を求める、というような問題に取り組んでいれば思いつけるでしょう。