センター試験 数学II・数学B 2018年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

解答編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$座標平面上に点$\mathrm{ A }(1,0)$, $\mathrm{ P }(\cos 2\theta,\sin 2\theta)$, $\mathrm{ Q }(2\cos 3\theta, 2\sin 3\theta)$ をとる。 $\theta$ が $\dfrac{\pi}{3}\leqq \theta\lt \pi$ の範囲を動くとき、 $\mathrm{ AP }^2+\mathrm{ PQ }^2$ の最大値と最小値を求めよう。

 $\mathrm{ AP }^2$ は
\begin{eqnarray}
\mathrm{ AP }^2
&=&
\myBox{ア}-\myBox{イ} \cos 2\theta \\[5pt] &=&
\myBox{ウ}-\myBox{エ} \cos^2 \theta \\[5pt] \end{eqnarray}である。

解説

点$\mathrm{ A }(1,0)$, $\mathrm{ P }(\cos 2\theta,\sin 2\theta)$ なので、
\begin{eqnarray}
\mathrm{ AP }^2
&=&
(\cos 2\theta-1)^2+(\sin2\theta-0)^2 \\[5pt] &=&
\cos^2 2\theta-2\cos 2\theta+1+\sin^2 2\theta \\[5pt] &=&
2-2\cos 2\theta \\[5pt] \end{eqnarray}となります。また、倍角の公式から
\begin{eqnarray}
\mathrm{ AP }^2
&=&
2-2\cos 2\theta \\[5pt] &=&
2-2(2\cos^2\theta-1) \\[5pt] &=&
4-4\cos^2\theta \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

アイ:22
ウエ:44

参考

解答編 つづき

問題

また、 $\mathrm{ PQ }^2$ は\[ \mathrm{ PQ }^2=\myBox{オ}-\myBox{カ} \cos \theta \]である。

解説

点$\mathrm{ P }(\cos 2\theta,\sin 2\theta)$, $\mathrm{ Q }(2\cos 3\theta, 2\sin 3\theta)$ なので、
\begin{eqnarray}
\mathrm{ PQ }^2
&=&
(2\cos 3\theta-\cos 2\theta)^2+(2\sin 3\theta-\sin 2\theta)^2 \\[5pt] &=&
4\cos^2 3\theta-4\cos 3\theta\cos 2\theta+\cos^2 2\theta \\
& &
+4\sin^2 3\theta-4\sin 3\theta\sin 2\theta+\sin^2 2\theta \\[5pt] &=&
4-4(\cos 3\theta\cos 2\theta+\sin 3\theta\sin 2\theta)+1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。最後の式のカッコ内は、三角関数の積を和に変換する公式を2回使ってもいいですが、そもそも、 $\cos\theta$ の加法定理そのままの形をしています。カッコ内は、 $\cos(3\theta-2\theta)$ と変形できますね。よって、
\begin{eqnarray}
\mathrm{ PQ }^2
&=&
4-4(\cos 3\theta\cos 2\theta+\sin 3\theta\sin 2\theta)+1 \\[5pt] &=&
5-4\cos (3\theta-2\theta) \\[5pt] &=&
5-4\cos \theta \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

オカ:54

参考

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解答編 つづき

問題

 $\dfrac{\pi}{3}\leqq \theta\lt \pi$ であるから、 $\myBox{キク}\lt \cos\theta\leqq \dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コ}}$ である。したがって、 $\mathrm{ AP }^2+\mathrm{ PQ }^2$ は、 $\theta=\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}\pi$ のとき最大値 $\myBox{スセ}$ をとり、 $\theta=\dfrac{\pi}{\myBox{ソ}}$ のとき最小値 $\myBox{タ}$ をとる。

解説

ここまでくれば、後は数学Iの範囲の内容ですね。

$\dfrac{\pi}{3}\leqq \theta\lt \pi$ のとき、 $\cos\theta$ のとる値は、\[ -1\lt \cos\theta \leqq \frac{1}{2} \]となります。この範囲で、 $\mathrm{ AP }^2+\mathrm{ PQ }^2$ の最大・最小を求めましょう。
\begin{eqnarray}
& &
\mathrm{ AP }^2+\mathrm{ PQ }^2 \\
&=&
(4-4\cos^2\theta)+(5-4\cos\theta) \\
&=&
-4\cos^2\theta -4\cos\theta +9 \\
\end{eqnarray}となります。 $x=\cos\theta$ とおき、 $-1\lt x \leqq \dfrac{1}{2}$ の範囲で、 $y=-4x^2-4x+9$ の最大・最小を考えてみましょう。
\begin{eqnarray}
y
&=&
-4x^2-4x+9 \\[5pt] &=&
-4\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+10 \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、グラフは以下のようになります。

よって、最大となるのは、 $x=-\dfrac{1}{2}$ のとき、つまり、 $\theta=\dfrac{2}{3}\pi$ のときで、そのときの値は $10$ です。最小値は、 $x=\dfrac{1}{2}$ のとき、つまり、 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のときで、そのときの値は $6$ となることがわかります。

解答

キク:-1
ケコ:12
サシ:23
スセ:10
ソ:3
タ:6