センター試験 数学I・数学A 2020年度 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ABC}$ において、辺 $\mathrm{BC}$ を $7:1$ に内分する点を $\mathrm{D}$ とし、辺 $\mathrm{AC}$ を $7:1$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とする。線分 $\mathrm{AD}$ と線分 $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{F}$ とし、直線 $\mathrm{CF}$ と辺 $\mathrm{AB}$ の交点を $\mathrm{G}$ とすると

 $\dfrac{\mathrm{GB}}{\mathrm{AG}}=\myBox{ア}$, $\dfrac{\mathrm{FD}}{\mathrm{AF}}=\dfrac{\myBox{イ}}{\myBox{ウ}}$, $\dfrac{\mathrm{FC}}{\mathrm{GF}}=\dfrac{\myBox{エ}}{\myBox{オ}}$

である。

解説

チェバの定理より
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{GB}}{\mathrm{AG}} \cdot \frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}} \cdot \frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{CE}} &=& 1 \\[5pt] \frac{\mathrm{GB}}{\mathrm{AG}} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{1} &=& 1 \\[5pt] \frac{\mathrm{GB}}{\mathrm{AG}} &=& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

次に、三角形 ABD と直線 CG に着目します。

これらに対してメネラウスの定理を使うと
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BC}} \cdot \frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{DF}} \cdot \frac{\mathrm{GB}}{\mathrm{AG}} &=& 1 \\[5pt] \frac{1}{8} \cdot \frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{DF}} \cdot 1 &=& 1 \\[5pt] \frac{\mathrm{FD}}{\mathrm{AF}} &=& \frac{1}{8} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

最後に、三角形 BCG と直線 AD に着目します。

これらに対してメネラウスの定理を使うと
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}} \cdot \frac{\mathrm{FG}}{\mathrm{CF}} \cdot \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{GA}} &=& 1 \\[5pt] \frac{1}{7} \cdot \frac{\mathrm{FG}}{\mathrm{CF}} \cdot \frac{2}{1} &=& 1 \\[5pt] \frac{\mathrm{FC}}{\mathrm{GF}} &=& \frac{2}{7} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

アイウエオ:11827

解答編 つづき

問題

したがって\[ \dfrac{\triangle\mathrm{CDG}の面積}{\triangle\mathrm{BFG}の面積}=\dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キク}} \]となる。

解説

$\triangle\mathrm{CDG}$ の面積は $\triangle\mathrm{BCG}$ の面積の $\dfrac{1}{8}$ 倍であり、 $\triangle\mathrm{BFG}$ の面積は $\triangle\mathrm{BCG}$ の面積の $\dfrac{\mathrm{FG}}{\mathrm{CG}}=\dfrac{7}{9}$ 倍だから、 $\triangle\mathrm{CDG}$ の面積 を $\triangle\mathrm{BFG}$ の面積で割った値は\[ \dfrac{1}{8}\div\dfrac{7}{9}=\dfrac{9}{56} \]となります。

解答

カキク:956

解答編 つづき

問題

 4点 $\mathrm{B, D, F, G}$ が同一円周上にあり、かつ $\mathrm{FD}=1$ のとき\[ \mathrm{AB}=\myBox{ケコ} \]である。

解説

図は正しくないですが、先ほどの図を使いまわして考えていきます。

4点 $\mathrm{B, D, F, G}$ が同一円周上にあるとき、方べきの定理から $\mathrm{AF}\cdot \mathrm{AD}=\mathrm{AG}\cdot \mathrm{AB}$ が成り立ちます。 $\mathrm{FD}=1$ なので、 $\mathrm{AF}=8$, $\mathrm{AD}=9$ であり、 $\mathrm{AG}\cdot \mathrm{AB}=\dfrac{\mathrm{AB}^2}{2}$ だから、 $\dfrac{\mathrm{AB}^2}{2}=72$ より $\mathrm{AB}=12$ と求められます。

解答

ケコ:12

解答編 つづき

問題

さらに $\mathrm{AE}=3\sqrt{7}$ とするとき、 $\mathrm{AE\cdot AC}=\myBox{サシ}$ であり\[ \angle\mathrm{AEG}=\myBox{ス} \]である。 $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: $\angle\mathrm{BGE}$
 1: $\angle\mathrm{ADB}$

 2: $\angle\mathrm{ABC}$
 3: $\angle\mathrm{BAD}$

解説

$\mathrm{AE}=3\sqrt{7}$ のとき、$\mathrm{AC}=\dfrac{8}{7}\mathrm{AE}$ だから、
\begin{eqnarray}
\mathrm{AE}\cdot \mathrm{AC}
&=&
\dfrac{8}{7}\cdot \mathrm{AE}^2 \\[5pt] &=&
\dfrac{8}{7}\cdot 9\cdot 7 \\[5pt] &=&
72
\end{eqnarray}となります。この値は、 $\mathrm{AG}\cdot \mathrm{AB}=72$ と等しいので、方べきの定理の逆より、4点 $\mathrm{G, B, C, E}$ が同一円周上にあることがわかります。よって、 $\angle \mathrm{AEG}=\angle \mathrm{ABC}$ が成り立ちます。

解答

サシス:722