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センター試験 数学I・数学A 2020年度 第3問 [2] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 1枚のコインを最大で5回投げるゲームを行う。このゲームでは、1回投げるごとに表が出たら持ち点に2点を加え、裏が出たら持ち点に -1点を加える。はじめの持ち点は0点とし、ゲーム終了のルールを次のように定める。

 ・持ち点が再び0点になった場合は、その時点で終了する。

 ・持ち点が再び0点にならない場合は、コインを5回投げ終わった時点で終了する。

(1) コインを2回投げ終わって持ち点が -2点である確率は $\dfrac{\myBox{ウ} }{\myBox{エ} }$ である。また、コインを2回投げ終わって持ち点が1点である確率は $\dfrac{\myBox{オ} }{\myBox{カ} }$ である。

(2) 持ち点が再び0点になることが起こるのは、コインを $\myBox{キ}$ 回投げ終わったときである。コインを $\mybox{キ}$ 回投げ終わって持ち点が0点になる確率は $\dfrac{\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }$ である。

(3) ゲームが終了した時点で持ち点が4点である確率は $\dfrac{\myBox{コ} }{\myBox{サシ} }$ である。

(4) ゲームが終了した時点で持ち点が4点であるとき、コインを2回投げ終わって持ち点が1点である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ス} }{\myBox{セ} }$ である。

考え方

よくある反復試行の問題です。ただ、「持ち点が0点になると終了する」というのがやっかいですね。これは、まずは「持ち点が0でも終了しない」としておいて、後から「途中で持ち点が0点になるケースを除外する」と考えるとわかりやすくなるでしょう。


【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

 1枚のコインを最大で5回投げるゲームを行う。このゲームでは、1回投げるごとに表が出たら持ち点に2点を加え、裏が出たら持ち点に -1点を加える。はじめの持ち点は0点とし、ゲーム終了のルールを次のように定める。

 ・持ち点が再び0点になった場合は、その時点で終了する。

 ・持ち点が再び0点にならない場合は、コインを5回投げ終わった時点で終了する。

(1) コインを2回投げ終わって持ち点が -2点である確率は $\dfrac{\myBox{ウ} }{\myBox{エ} }$ である。また、コインを2回投げ終わって持ち点が1点である確率は $\dfrac{\myBox{オ} }{\myBox{カ} }$ である。

解説

コインを2回投げ終わって持ち点が -2点となるのは、裏が2回出たときなので、こうなる確率は、\[ \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \]です。

また、持ち点が -1点となるのは、表が1回、裏が1回出たときで、こうなる出方は2通りあります。よって、こうなる確率は\[ \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \]となります。

解答

ウエオカ:1412

解答編 つづき

問題

(2) 持ち点が再び0点になることが起こるのは、コインを $\myBox{キ}$ 回投げ終わったときである。コインを $\mybox{キ}$ 回投げ終わって持ち点が0点になる確率は $\dfrac{\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }$ である。

解説

持ち点が再び 0点になりうるのは、コインを3回投げたときで、それ以外はありません。

3回投げて持ち点が0点となるのは、表が1回、裏が2回出たときです。こうなる確率は、 $\dfrac{ {}_3\mathrm{C}_1}{2^3}=\dfrac{3}{8}$ となります。

解答

キクケ:338

解答編 つづき

問題

(3) ゲームが終了した時点で持ち点が4点である確率は $\dfrac{\myBox{コ} }{\myBox{サシ} }$ である。

解説

持ち点が0点になってもゲームが終わらないとすると、ゲーム終了時に持ち点が4となるのは、表が3回、裏が2回出るときであり、こうなる出方は ${}_5\mathrm{C}_3=10$ 通りあります。このうち、途中で持ち点が0点になるケースは、「はじめの3回のうち、表が1回、裏が2回、残り2回は、表が2回、裏が0回」の場合であり、こうなる出方は $3$ 通りあります。よって、持ち点が4点で終了する確率は $\dfrac{10-3}{2^5}=\dfrac{7}{32}$ となります。

解答

コサシ:732

解答編 つづき

問題

(4) ゲームが終了した時点で持ち点が4点であるとき、コインを2回投げ終わって持ち点が1点である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ス} }{\myBox{セ} }$ である。

解説

2回投げ終わって持ち点が1点で、終了時には4点となる場合を考えます。この場合、はじめの2回は、表が1回で裏が1回出ていることになります。3回目が裏なら持ち点が0となってしまうので、3回目は必ず表です。また、4回目・5回目は、表が1回で裏が1回です。以上から、

 1回目と2回目:どちらかが表、どちらかが裏
 3回目:表
 4回目と5回目:どちらかが表、どちらかが裏

となる場合なので、2回投げ終わって持ち点が1で、終了時に4点となる出方は $2\times 1 \times 2=4$ 通りあります。よって、条件付確率は\[ \dfrac{\dfrac{4}{32} }{\dfrac{7}{32} } = \dfrac{4}{7} \]と求められます。

解答

スセ:47

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