センター試験 数学I・数学A 2020年度 第2問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ABC}$ において、 $\mathrm{BC}=2\sqrt{2}$ とする。 $\angle \mathrm{ACB}$ の二等分線と辺 $\mathrm{AB}$ の交点を $\mathrm{D}$ とし、 $\mathrm{CD}=\sqrt{2}$, $\cos\angle \mathrm{BCD}=\dfrac{3}{4}$ とする。このとき、 $\mathrm{BD}=\myBox{ア}$ であり\[ \sin\angle \mathrm{ADC}=\dfrac{\sqrt{\myBox{イウ}}}{\myBox{エ}} \]である。 $\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}=\sqrt{\myBox{オ}}$ であるから\[ \mathrm{AD}=\myBox{カ} \]である。また、 $\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の半径は $\dfrac{\myBox{キ}\sqrt{\myBox{ク}}}{\myBox{ケ}}$ である。

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教科書や従来の参考書では、いろいろ書かれているわりに、読者が一番知りたい肝心なことは省かれている傾向があります。本書は、ここを重点的に丁寧に解説しました。ですから、しっかり読んでもらえばスムーズに理解してもらえるはずです。本書は気楽に読めて即効的な力がつくことを謳うものではありません。しっかり読む人に、数学的な心と考えること理解することの喜びと力を伝えるものです。
著者: 長岡 亮介
出版社: 旺文社
発売日: 2012/09/23
752ページ

考え方

アは三角形 $\mathrm{BCD}$ について考えますが、イウエではいきなり三角形 $\mathrm{ACD}$ の話に飛んでしまいます。しかし、三角形 $\mathrm{BCD}$ の中でいろいろ考えれば、イウエも求められるようになります。少し難しいです。

カはさらに難しく、ほぼノーヒントです。辺の比を利用して、正弦定理や余弦定理から、辺の長さを求める方程式を作りましょう。

最後のキクケは、正弦定理を使う雰囲気がありますが、どの角も正弦の値がわかりません。今までに求めたことを利用して、どれかの角の正弦を求めましょう。