センター試験 数学I・数学A 2020年度 第2問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ABC}$ において、 $\mathrm{BC}=2\sqrt{2}$ とする。 $\angle \mathrm{ACB}$ の二等分線と辺 $\mathrm{AB}$ の交点を $\mathrm{D}$ とし、 $\mathrm{CD}=\sqrt{2}$, $\cos\angle \mathrm{BCD}=\dfrac{3}{4}$ とする。このとき、 $\mathrm{BD}=\myBox{ア}$ であり\[ \sin\angle \mathrm{ADC}=\dfrac{\sqrt{\myBox{イウ}}}{\myBox{エ}} \]である。 $\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}=\sqrt{\myBox{オ}}$ であるから\[ \mathrm{AD}=\myBox{カ} \]である。また、 $\triangle\mathrm{ABC}$ の外接円の半径は $\dfrac{\myBox{キ}\sqrt{\myBox{ク}}}{\myBox{ケ}}$ である。

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(2020年10月 時点の情報です)

考え方

アは三角形 $\mathrm{BCD}$ について考えますが、イウエではいきなり三角形 $\mathrm{ACD}$ の話に飛んでしまいます。しかし、三角形 $\mathrm{BCD}$ の中でいろいろ考えれば、イウエも求められるようになります。少し難しいです。

カはさらに難しく、ほぼノーヒントです。辺の比を利用して、正弦定理や余弦定理から、辺の長さを求める方程式を作りましょう。

最後のキクケは、正弦定理を使う雰囲気がありますが、どの角も正弦の値がわかりません。今までに求めたことを利用して、どれかの角の正弦を求めましょう。

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