センター試験 数学I・数学A 2020年度 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

　自然数 $n$ に関する三つの条件 $p$, $q$, $r$ を次のように定める。

　$p$ : $n$ は4の倍数である
　$q$ : $n$ は6の倍数である
　$r$ : $n$ は24の倍数である

　条件 $p$, $q$, $r$ の否定をそれぞれ $\overline{p}$, $\overline{q}$, $\overline{r}$ で表す。

　条件 $p$ を満たす自然数全体の集合を $P$ とし、条件 $q$ を満たす自然数全体の集合を $Q$ とし、条件 $r$ を満たす自然数全体の集合を $R$ とする。自然数全体の集合を全体集合とし、集合 $P$, $Q$, $R$ の補集合をそれぞれ $\overline{P}$, $\overline{Q}$, $\overline{R}$ で表す。

(1) 次の $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。

　$32\in\myBox{ス}$ である。

　0: $P\cap Q \cap R$
　1: $P\cap Q \cap \overline{R}$
　2: $P\cap \overline{Q}$

　3: $\overline{P}\cap Q$
　4: $\overline{P}\cap \overline{Q} \cap R$
　5: $\overline{P}\cap \overline{Q} \cap \overline{R}$

(2) 次の $\mybox{タ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 4 のうちから一つ選べ。

　$P\cap Q$ に属する自然数のうち最小のものは $\myBox{セソ}$ である。

　また、 $\mybox{セソ}\ \myBox{タ}R$ である。

　0: $=$
　1: $\subset$
　2: $\supset$

　3: $\in$
　4: $\notin$

(3) 次の $\mybox{チ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。

　自然数 $\mybox{セソ}$ は、命題 $\myBox{チ}$ の反例である。

　0: 「$(p$ かつ $q)$ $\Longrightarrow$ $\overline{r}$ 」
　1: 「$(p$ または $q)$ $\Longrightarrow$ $\overline{r}$ 」

　2: 「$r$ $\Longrightarrow$ $(p$ かつ $q)$ 」
　3: 「$(p$ かつ $q)$ $\Longrightarrow$ $r$ 」

考え方

(1)は、 $P, Q, R$ のそれぞれについて、その集合に入るのか補集合に入るのかを考えてみるとわかりやすくなるかもしれません。

(3)は、少しわかりづらいですが、セソに入るものが反例になるということは、チには偽の命題が入る、ということです。

【必答問題】

解答編

問題

　自然数 $n$ に関する三つの条件 $p$, $q$, $r$ を次のように定める。

　$p$ : $n$ は4の倍数である
　$q$ : $n$ は6の倍数である
　$r$ : $n$ は24の倍数である

　条件 $p$, $q$, $r$ の否定をそれぞれ $\overline{p}$, $\overline{q}$, $\overline{r}$ で表す。

　条件 $p$ を満たす自然数全体の集合を $P$ とし、条件 $q$ を満たす自然数全体の集合を $Q$ とし、条件 $r$ を満たす自然数全体の集合を $R$ とする。自然数全体の集合を全体集合とし、集合 $P$, $Q$, $R$ の補集合をそれぞれ $\overline{P}$, $\overline{Q}$, $\overline{R}$ で表す。

(1) 次の $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 5 のうちから一つ選べ。

　$32\in\myBox{ス}$ である。

　0: $P\cap Q \cap R$
　1: $P\cap Q \cap \overline{R}$
　2: $P\cap \overline{Q}$

　3: $\overline{P}\cap Q$
　4: $\overline{P}\cap \overline{Q} \cap R$
　5: $\overline{P}\cap \overline{Q} \cap \overline{R}$

解説

32は4の倍数ではあるが、6の倍数ではなく、24の倍数ではありません。なので、32は、 $P$, $\overline{Q}$, $\overline{R}$ に属します。 よって、選択肢の中で正しいものは、 $32\in P\cap \overline{Q}$ のみです。 0, 1 は $Q$ に属しているのでダメ、3, 4, 5 は $\overline{P}$ に属しているのでダメです。

解答

ス：2

解答編 つづき

問題

(2) 次の $\mybox{タ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 4 のうちから一つ選べ。

　$P\cap Q$ に属する自然数のうち最小のものは $\myBox{セソ}$ である。

　また、 $\mybox{セソ}\ \myBox{タ}R$ である。

　0: $=$
　1: $\subset$
　2: $\supset$

　3: $\in$
　4: $\notin$

解説

$P\cap Q$ に属するものは、4の倍数かつ6の倍数である自然数なので、12の倍数ということです。なので、最小のものは12です。

また、12は24の倍数ではないので、 $12\notin R$ となります。

解答

セソ：12
タ：4

解答編 つづき

問題

(3) 次の $\mybox{チ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。

　自然数 $\mybox{セソ}$ は、命題 $\myBox{チ}$ の反例である。

　0: 「$(p$ かつ $q)$ $\Longrightarrow$ $\overline{r}$ 」
　1: 「$(p$ または $q)$ $\Longrightarrow$ $\overline{r}$ 」

　2: 「$r$ $\Longrightarrow$ $(p$ かつ $q)$ 」
　3: 「$(p$ かつ $q)$ $\Longrightarrow$ $r$ 」

解説

「命題チの反例」となっているので、チには「 $12$ は、仮定を満たすが結論は満たさない」ものが入ります。

$12$ が仮定を満たしているものは、0, 1, 3 です。一方、 $12$ が結論を満たしていないものは、3 です。よって、3が答えです。

解答

チ：3