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センター試験 数学I・数学A 2020年度 第3問 [1] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 次の $\mybox{ア}$, $\mybox{イ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 正しい記述は $\myBox{ア}$ と $\myBox{イ}$ である。

 0: 1枚のコインを投げる施行を5回繰り返すとき、少なくとも1回は表が出る確率を $p$ とすると、 $p\gt 0.95$ である。

 1: 袋の中に赤球と白球が合わせて8個入っている。球を1個取り出し、色を調べてから袋に戻す試行を行う。この試行を5回繰り返したところ赤球が3回出た。したがって、1回の施行で赤球が出る確率は $\dfrac{3}{5}$ である。

 2: 箱の中に「い」と書かれたカードが1枚、「ろ」と書かれたカードが2枚、「は」と書かれたカードが2枚の合計5枚のカードが入っている。同時に2枚のカードを取り出すとき、書かれた文字が異なる確率は $\dfrac{4}{5}$ である。

 3: コインの面を見て「オモテ(表)」または「ウラ(裏)」とだけ発言するロボットが2体ある。ただし、どちらのロボットも出た面に対して正しく発言する確率が0.9、正しく発言しない確率が0.1であり、これら2体は互いに影響されることなく発言するものとする。いま、ある人が1枚のコインを投げる。出た面を見た2体が、ともに「オモテ」と発言したときに、実際に表が出ている確率を $p$ とすると、 $p\leqq 0.9$ である。

考え方

変わった問題です。0 と 2 は、確率の典型的な問題です。3 も、条件付確率の典型的な問題です。式で直接求められます。

1 は、確率そのものの考え方です。5回中3回より、8回中3回のほうがひっかかる人が多そうな気がしますが。

出題形式は珍しいですが、それぞれの選択肢はそれほど難しくはありません。確率の分野の小問集合のようになっています。


【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

 次の $\mybox{ア}$, $\mybox{イ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 正しい記述は $\myBox{ア}$ と $\myBox{イ}$ である。

 0: 1枚のコインを投げる施行を5回繰り返すとき、少なくとも1回は表が出る確率を $p$ とすると、 $p\gt 0.95$ である。

 1: 袋の中に赤球と白球が合わせて8個入っている。球を1個取り出し、色を調べてから袋に戻す試行を行う。この試行を5回繰り返したところ赤球が3回出た。したがって、1回の施行で赤球が出る確率は $\dfrac{3}{5}$ である。

 2: 箱の中に「い」と書かれたカードが1枚、「ろ」と書かれたカードが2枚、「は」と書かれたカードが2枚の合計5枚のカードが入っている。同時に2枚のカードを取り出すとき、書かれた文字が異なる確率は $\dfrac{4}{5}$ である。

 3: コインの面を見て「オモテ(表)」または「ウラ(裏)」とだけ発言するロボットが2体ある。ただし、どちらのロボットも出た面に対して正しく発言する確率が0.9、正しく発言しない確率が0.1であり、これら2体は互いに影響されることなく発言するものとする。いま、ある人が1枚のコインを投げる。出た面を見た2体が、ともに「オモテ」と発言したときに、実際に表が出ている確率を $p$ とすると、 $p\leqq 0.9$ である。

解説

順番に吟味していきます。

0: コインを5回ふって少なくとも表が1回出る確率は、「すべて裏」となる確率を1から引けばいいので、 \[ 1-\dfrac{1}{2^5}=\dfrac{31}{32}=0.96\cdots \gt 0.95\] となるので、正しいです。

1: この考え方だと、1回だけ取り出して、赤が出たら「赤の出る確率は100%」、赤以外が出たら「赤の出る確率は0%」となってしまいます。そんなことはないので、正しくないです。

2: 5枚のカードから2枚を選ぶ方法は、 ${}_5\mathrm{C}_2=10$ 通りです。書かれた文字が同じになるのは、「ろろ」か「はは」の2通りなので、異なる文字となる確率は $\dfrac{10-2}{10}=\dfrac{4}{5}$ となります。よって、正しいことがわかります。

3: 2体のロボットがどちらも「オモテ」と発言するのは、実際に表が出たケースと、裏が出たケースの2通りあります。それぞれが起こる確率は、 $\dfrac{1}{2}\times 0.9\times0.9$, $\dfrac{1}{2}\times 0.1\times0.1$ なので、実際に表が出た確率は\[\dfrac{\dfrac{1}{2}\times 0.9\times0.9}{\dfrac{1}{2}\times 0.9\times0.9+\dfrac{1}{2}\times 0.1\times0.1}=\dfrac{81}{82}\]です。計算するとこれは $0.9$ より大きくなります。なので、正しくないです。

以上から、0と2が正しい記述であることがわかります。

解答

アイ:02

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