センター試験 数学I・数学A 2020年度 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ABC}$ において、辺 $\mathrm{BC}$ を $7:1$ に内分する点を $\mathrm{D}$ とし、辺 $\mathrm{AC}$ を $7:1$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とする。線分 $\mathrm{AD}$ と線分 $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{F}$ とし、直線 $\mathrm{CF}$ と辺 $\mathrm{AB}$ の交点を $\mathrm{G}$ とすると

 $\dfrac{\mathrm{GB}}{\mathrm{AG}}=\myBox{ア}$, $\dfrac{\mathrm{FD}}{\mathrm{AF}}=\dfrac{\myBox{イ}}{\myBox{ウ}}$, $\dfrac{\mathrm{FC}}{\mathrm{GF}}=\dfrac{\myBox{エ}}{\myBox{オ}}$

である。したがって\[ \dfrac{\triangle\mathrm{CDG}の面積}{\triangle\mathrm{BFG}の面積}=\dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キク}} \]となる。

 4点 $\mathrm{B, D, F, G}$ が同一円周上にあり、かつ $\mathrm{FD}=1$ のとき\[ \mathrm{AB}=\myBox{ケコ} \]である。さらに $\mathrm{AE}=3\sqrt{7}$ とするとき、 $\mathrm{AE\cdot AC}=\myBox{サシ}$ であり\[ \angle\mathrm{AEG}=\myBox{ス} \]である。 $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: $\angle\mathrm{BGE}$
 1: $\angle\mathrm{ADB}$

 2: $\angle\mathrm{ABC}$
 3: $\angle\mathrm{BAD}$

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当情報は2020年4月時点のものです。最新の配信状況はリンク先サイトにてご確認ください。

考え方

見るからに、チェバやメネラウスの定理を使う雰囲気があります。視点を変えて、適用していきます。面積比は辺の比を利用すれば求められます。

後半は、4点が同一円周上にあることから、何を使うかピンとくるでしょう。最後の角度の問題は、そこまでで円が登場しているので、何を使うのか予測しやすいでしょう。