センター試験 数学I・数学A 2020年度 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) $x$ を循環小数 $2.\dot{3}\dot{6}$ とする。すなわち\[ x = 2.363636\cdots \]とする。このとき\[ 100\times x-x = 236.\dot{3}\dot{6}-2.\dot{3}\dot{6} \]であるから、 $x$ を分数で表すと\[x=\dfrac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウエ}}\]である。

(2) 有理数 $y$ は、7進法で表すと、二つの数字の並び $ab$ が繰り返し現れる循環小数 $2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}$ になるとする。ただし、 $a$, $b$ は0以上6以下の 異なる 整数である。このとき\[ 49\times y-y=2ab.\dot{a}\dot{b}_{(7)}-2.\dot{a}\dot{b}_{(7)} \]であるから\[ y=\dfrac{\myBox{オカ}+7\times a+b}{\myBox{キク}} \]と表せる。

(i) $y$ が、分子が奇数で分母が $4$ である分数で表されるのは

 $y=\dfrac{\myBox{ケ}}{4}$ または $y=\dfrac{\myBox{コサ}}{4}$

のときである。 $y=\dfrac{\mybox{コサ}}{4}$ のときは、 $7\times a+b=\myBox{シス}$ であるから\[ a=\myBox{セ},\ b=\myBox{ソ} \]である。

(ii) $y-2$ は、分子が1で分母が2以上の整数である分数で表されるとする。このような $y$ の個数は、全部で $\myBox{タ}$ 個である。

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考え方

整数の分野では、不定一次方程式が出ることが多いですが、この回は $n$ 進法での循環小数の問題です。珍しい出題ですが、誘導は丁寧なので、よく考えていきましょう。

(1)は、10進法での循環小数で、これは解いたことがある人も多いでしょう。(2)は7進法での循環小数ですが、10進法のときと似たように勧めていくことができます。7進法で表された数を10進法で表しつつ、(1)の内容を踏まえて考えていきます。

(ii)は、まずは $7a+b$ の値の候補を絞ります。それから、条件を満たしている $a,b$ の値を求めます。