センター試験 数学I・数学A 2020年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$a$ を定数とする。

(1) 直線 $\ell:y=(a^2-2a-8)x+a$ の傾きが負となるのは、 $a$ の値の範囲が\[ \myBox{アイ}\lt a \lt \myBox{ウ} \]のときである。

(2) $a^2-2a-8\ne 0$ とし、(1)の直線 $\ell$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $b$ とする。

$a\gt 0$ の場合、 $b\gt 0$ となるのは $\myBox{エ}\lt a\lt\myBox{オ}$ のときである。

$a\leqq 0$ の場合、 $b\gt 0$ となるのは $a\lt \myBox{カキ}$ のときである。

 また、 $a=\sqrt{3}$ のとき\[ b=\dfrac{\myBox{ク}\sqrt{\myBox{ケ}-\myBox{コ}}}{\myBox{サシ}} \]である。

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(2020年09月 時点の情報です)

考え方

(1)は二次不等式を解きます。(2)の前半は、 $a$ の符号によって、 $a^2-2a-8$ の値がどうなればいいかを考えましょう。グラフから考えてもいいですし、 $b$ を $a$ で表してから考えても構いません。後半は、有理化の計算です。