センター試験数学I・数学A 2020年度第3問 [2] 解説

🕒 2020/01/19 🔄 2023/05/01

【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)

問題編

問題

　1枚のコインを最大で5回投げるゲームを行う。このゲームでは、1回投げるごとに表が出たら持ち点に2点を加え、裏が出たら持ち点に -1点を加える。はじめの持ち点は0点とし、ゲーム終了のルールを次のように定める。

　・持ち点が再び0点になった場合は、その時点で終了する。

　・持ち点が再び0点にならない場合は、コインを5回投げ終わった時点で終了する。

(1) コインを2回投げ終わって持ち点が -2点である確率は $\dfrac{\myBox{ウ} }{\myBox{エ} }$ である。また、コインを2回投げ終わって持ち点が1点である確率は $\dfrac{\myBox{オ} }{\myBox{カ} }$ である。

(2) 持ち点が再び0点になることが起こるのは、コインを $\myBox{キ}$ 回投げ終わったときである。コインを $\mybox{キ}$ 回投げ終わって持ち点が0点になる確率は $\dfrac{\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }$ である。

(3) ゲームが終了した時点で持ち点が4点である確率は $\dfrac{\myBox{コ} }{\myBox{サシ} }$ である。

(4) ゲームが終了した時点で持ち点が4点であるとき、コインを2回投げ終わって持ち点が1点である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ス} }{\myBox{セ} }$ である。

考え方

よくある反復試行の問題です。ただ、「持ち点が0点になると終了する」というのがやっかいですね。これは、まずは「持ち点が0でも終了しない」としておいて、後から「途中で持ち点が0点になるケースを除外する」と考えるとわかりやすくなるでしょう。

【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)

解答編

問題

　1枚のコインを最大で5回投げるゲームを行う。このゲームでは、1回投げるごとに表が出たら持ち点に2点を加え、裏が出たら持ち点に -1点を加える。はじめの持ち点は0点とし、ゲーム終了のルールを次のように定める。

　・持ち点が再び0点になった場合は、その時点で終了する。

　・持ち点が再び0点にならない場合は、コインを5回投げ終わった時点で終了する。

(1) コインを2回投げ終わって持ち点が -2点である確率は $\dfrac{\myBox{ウ} }{\myBox{エ} }$ である。また、コインを2回投げ終わって持ち点が1点である確率は $\dfrac{\myBox{オ} }{\myBox{カ} }$ である。

解説

コインを2回投げ終わって持ち点が -2点となるのは、裏が2回出たときなので、こうなる確率は、\[ \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \]です。

また、持ち点が -1点となるのは、表が1回、裏が1回出たときで、こうなる出方は2通りあります。よって、こうなる確率は\[ \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \]となります。

解答

ウエオカ：1412

解答編つづき

問題

(2) 持ち点が再び0点になることが起こるのは、コインを $\myBox{キ}$ 回投げ終わったときである。コインを $\mybox{キ}$ 回投げ終わって持ち点が0点になる確率は $\dfrac{\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }$ である。

解説

持ち点が再び 0点になりうるのは、コインを3回投げたときで、それ以外はありません。

3回投げて持ち点が0点となるのは、表が1回、裏が2回出たときです。こうなる確率は、 $\dfrac{ {}_3\mathrm{C}_1}{2^3}=\dfrac{3}{8}$ となります。

解答

キクケ：338

解答編つづき

問題

(3) ゲームが終了した時点で持ち点が4点である確率は $\dfrac{\myBox{コ} }{\myBox{サシ} }$ である。

解説

持ち点が0点になってもゲームが終わらないとすると、ゲーム終了時に持ち点が4となるのは、表が3回、裏が2回出るときであり、こうなる出方は ${}_5\mathrm{C}_3=10$ 通りあります。このうち、途中で持ち点が0点になるケースは、「はじめの3回のうち、表が1回、裏が2回、残り2回は、表が2回、裏が0回」の場合であり、こうなる出方は $3$ 通りあります。よって、持ち点が4点で終了する確率は $\dfrac{10-3}{2^5}=\dfrac{7}{32}$ となります。