センター試験 数学I・数学A 2020年度 第1問 [2] 解説

【必答問題】

解答編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$自然数 $n$ に関する三つの条件 $p$, $q$, $r$ を次のように定める。

 $p$ : $n$ は4の倍数である
 $q$ : $n$ は6の倍数である
 $r$ : $n$ は24の倍数である

 条件 $p$, $q$, $r$ の否定をそれぞれ $\overline{p}$, $\overline{q}$, $\overline{r}$ で表す。

 条件 $p$ を満たす自然数全体の集合を $P$ とし、条件 $q$ を満たす自然数全体の集合を $Q$ とし、条件 $r$ を満たす自然数全体の集合を $R$ とする。自然数全体の集合を全体集合とし、集合 $P$, $Q$, $R$ の補集合をそれぞれ $\overline{P}$, $\overline{Q}$, $\overline{R}$ で表す。

(1) 次の $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 $32\in\myBox{ス}$ である。

 0: $P\cap Q \cap R$
 1: $P\cap Q \cap \overline{R}$
 2: $P\cap \overline{Q}$

 3: $\overline{P}\cap Q$
 4: $\overline{P}\cap \overline{Q} \cap R$
 5: $\overline{P}\cap \overline{Q} \cap \overline{R}$

解説

32は4の倍数ではあるが、6の倍数ではなく、24の倍数ではありません。なので、32は、 $P$, $\overline{Q}$, $\overline{R}$ に属します。 よって、選択肢の中で正しいものは、 $32\in P\cap \overline{Q}$ のみです。 0, 1 は $Q$ に属しているのでダメ、3, 4, 5 は $\overline{P}$ に属しているのでダメです。

解答

ス:2

解答編 つづき

問題

(2) 次の $\mybox{タ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 $P\cap Q$ に属する自然数のうち最小のものは $\myBox{セソ}$ である。

 また、 $\mybox{セソ}\ \myBox{タ}R$ である。

 0: $=$
 1: $\subset$
 2: $\supset$

 3: $\in$
 4: $\notin$

解説

$P\cap Q$ に属するものは、4の倍数かつ6の倍数である自然数なので、12の倍数ということです。なので、最小のものは12です。

また、12は24の倍数ではないので、 $12\notin R$ となります。

解答

セソ:12
タ:4

解答編 つづき

問題

(3) 次の $\mybox{チ}$ に当てはまるものを、下の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 自然数 $\mybox{セソ}$ は、命題 $\myBox{チ}$ の反例である。

 0: 「$(p$ かつ $q)$ $\Longrightarrow$ $\overline{r}$ 」
 1: 「$(p$ または $q)$ $\Longrightarrow$ $\overline{r}$ 」

 2: 「$r$ $\Longrightarrow$ $(p$ かつ $q)$ 」
 3: 「$(p$ かつ $q)$ $\Longrightarrow$ $r$ 」

解説

「命題チの反例」となっているので、チには「 $12$ は、仮定を満たすが結論は満たさない」ものが入ります。

$12$ が仮定を満たしているものは、0, 1, 3 です。一方、 $12$ が結論を満たしていないものは、3 です。よって、3が答えです。

解答

チ:3