センター試験 数学I・数学A 2020年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

　$a$ を定数とする。

(1) 直線 $\ell:y=(a^2-2a-8)x+a$ の傾きが負となるのは、 $a$ の値の範囲が\[ \myBox{アイ}\lt a \lt \myBox{ウ} \]のときである。

(2) $a^2-2a-8\ne 0$ とし、(1)の直線 $\ell$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $b$ とする。

$a\gt 0$ の場合、 $b\gt 0$ となるのは $\myBox{エ}\lt a\lt\myBox{オ}$ のときである。

$a\leqq 0$ の場合、 $b\gt 0$ となるのは $a\lt \myBox{カキ}$ のときである。

　また、 $a=\sqrt{3}$ のとき\[ b=\dfrac{\myBox{ク}\sqrt{\myBox{ケ}-\myBox{コ} }}{\myBox{サシ} } \]である。

考え方

(1)は二次不等式を解きます。(2)の前半は、 $a$ の符号によって、 $a^2-2a-8$ の値がどうなればいいかを考えましょう。グラフから考えてもいいですし、 $b$ を $a$ で表してから考えても構いません。後半は、有理化の計算です。

【必答問題】

解答編

問題

　$a$ を定数とする。

(1) 直線 $\ell:y=(a^2-2a-8)x+a$ の傾きが負となるのは、 $a$ の値の範囲が\[ \myBox{アイ}\lt a \lt \myBox{ウ} \]のときである。

解説

解答

アイウ：-24

解答編 つづき

問題

(2) $a^2-2a-8\ne 0$ とし、(1)の直線 $\ell$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $b$ とする。

$a\gt 0$ の場合、 $b\gt 0$ となるのは $\myBox{エ}\lt a\lt\myBox{オ}$ のときである。

$a\leqq 0$ の場合、 $b\gt 0$ となるのは $a\lt \myBox{カキ}$ のときである。

解説

$(a^2-2a-8)b+a=0$ なので、 $b=-\dfrac{a}{a^2-2a-8}$ と書けます。 $a\gt 0$ のときに、 $b\gt 0$ となるのは、分母が負のときです。よって、(1)と $a\gt 0$ より $0\lt a \lt 4$ となります。

$a\leqq 0$ のときに、 $b\gt 0$ となるのは、 $a\ne 0$ かつ $a^2-2a-8\gt 0$ のときです。 $(a-4)(a+2)\gt 0$ と $a\lt 0$ から、 $a\lt -2$ と求められます。

解答

エオ：04
カキ：-2

解答編 つづき

問題

　また、 $a=\sqrt{3}$ のとき\[ b=\dfrac{\myBox{ク}\sqrt{\myBox{ケ}-\myBox{コ} }}{\myBox{サシ} } \]である。

解説

$b=-\dfrac{a}{a^2-2a-8}$ に $a=\sqrt{3}$ を代入すると
\begin{eqnarray} b &=& -\dfrac{\sqrt{3} }{3-2\sqrt{3}-8} \\[5pt] &=& \dfrac{\sqrt{3} }{5+2\sqrt{3} } \\[5pt] &=& \dfrac{\sqrt{3}(5-2\sqrt{3})}{(5+2\sqrt{3})(5-2\sqrt{3})} \\[5pt] &=& \dfrac{5\sqrt{3}-6}{13} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

クケコサシ：53613