センター試験 数学I・数学A 2019年度 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ ABC }$ において、 $\mathrm{ AB }=4$, $\mathrm{ BC }=7$, $\mathrm{ AC }=5$ とする。このとき、 $\cos \angle \mathrm{ BAC }=-\dfrac{1}{5}$, $\sin\angle \mathrm{ BAC }=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$ である。

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内接円の半径は $\dfrac{\sqrt{\myBox{ア}}}{\myBox{イ}}$ である。

 この内接円と辺 AB との接点を D、辺 AC との接点を E とする。
\begin{eqnarray}
\mathrm{ AD }&=&\myBox{ウ} \\[5pt] \mathrm{ DE }&=&\dfrac{\myBox{エ}\sqrt{\myBox{オカ}}}{\myBox{キ}} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

 線分 BE と線分 CD の交点を P、直線 AP と辺 BC の交点を Q とする。\[ \frac{\mathrm{ BQ }}{\mathrm{ CQ }}=\frac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}} \]であるから、 $\mathrm{ BQ }=\myBox{コ}$ であり、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内接円を I とすると\[ \mathrm{ IQ }=\frac{\sqrt{\myBox{サ}}}{\myBox{シ}} \]である。また、直線 CP と $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内接円との交点で D とは異なる点を F とすると\[ \cos\angle \mathrm{ DFE }=\dfrac{\myBox{スセ}}{\myBox{ソ}} \]である。

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考え方

三角比が何回か登場します。あまりないパターンですが、三角比の内容をガッツリ使うわけではありません。といっても、前半は三角比で解いたほうがわかりやすいかもしれません。図形的に解くには、面積に着目するなどの方法を使いましょう。

後半は、何を使うかは書いていませんが、式の形から何を使うかが予想できるでしょう。最後は、余弦定理などを使うのかな、と思いきや、特に必要ありません。わかりやすい、同じ大きさの角を探しましょう。