センター試験 数学I・数学A 2019年度 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$赤い袋には赤球2個と白球1個が入っており、白い袋には赤球1個と白球1個が入っている。

 最初に、さいころ1個を投げて、3の倍数の目が出たら白い袋を選び、それ以外の目が出たら赤い袋を選び、選んだ袋から球を1個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す。ここまでの操作を1回目の操作とする。2回目と3回目の操作では、直前に取り出した球の色と同じ色の袋から球を1個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す。

(1) 1回目の操作で、赤い袋が選ばれ赤い球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ であり、白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}$ である。

(2) 2回目の操作が白い袋で行われる確率は $\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カキ}}$ である。

(3) 1回目の操作で白球を取り出す確率を $p$ で表すと、2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}p+\dfrac{1}{3}$ で表される。

 よって、2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{コサ}}{\myBox{シスセ}}$ である。

 同様に考えると、3回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ソタチ}}{\myBox{ツテト}}$ である。

(4) 2回目の操作で取り出した球が白球であったとき、その球を取り出した袋の色が白である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ナニ}}{\myBox{ヌネ}}$ である。

 また、3回目の操作で取り出した球が白球であったとき、はじめて白球が取り出されたのが3回目の操作である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ノハ}}{\myBox{ヒフヘ}}$ である。

考え方

状況が少しめんどくいですね。また、どの確率を求めているのか、わかりにくくなってしまうので、落ち着いて考えていきましょう。どういうケースを考えればいいのか、整理しながら考えていきます。

例えば、1回目の操作で白球を取り出す、というのは、2回目の操作が白い袋で行われる、ということと同じことです。(2)は(1)との関連で考えたほうが計算は楽になります。

(3)は少し変わった表現ですが、白い袋か赤い袋か(直前に出した球が白球が赤球か)で場合分けをして考えましょう。直接考えると計算が煩雑になるので、ヒントの意味も込めてこうした出題になっているのでしょうが、逆に、見慣れない表現が出てきてしまったため、難易度は上がってしまっています。

(4)は、条件付き確率の中でも、わりと難しい内容となっています。これも、どのケースを考えればいいのか、よく状況を整理して計算しましょう。

すべてを場合分けするのはよくありません。例えば、(3)の「3回目の操作で白球が取り出される確率」を、「1回目の袋が赤か白か」「2回目の袋が赤か白か」「3回目の袋が赤か白か」で場合分けをして足す、とやってしまうと、計算量が多すぎて時間が足らなくなってしまうでしょう。