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センター試験 数学I・数学A 2019年度 第3問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 赤い袋には赤球2個と白球1個が入っており、白い袋には赤球1個と白球1個が入っている。

 最初に、さいころ1個を投げて、3の倍数の目が出たら白い袋を選び、それ以外の目が出たら赤い袋を選び、選んだ袋から球を1個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す。ここまでの操作を1回目の操作とする。2回目と3回目の操作では、直前に取り出した球の色と同じ色の袋から球を1個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す。

(1) 1回目の操作で、赤い袋が選ばれ赤い球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ア} }{\myBox{イ} }$ であり、白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ウ} }{\myBox{エ} }$ である。

(2) 2回目の操作が白い袋で行われる確率は $\dfrac{\myBox{オ} }{\myBox{カキ} }$ である。

(3) 1回目の操作で白球を取り出す確率を $p$ で表すと、2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }p+\dfrac{1}{3}$ で表される。

 よって、2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{コサ} }{\myBox{シスセ} }$ である。

 同様に考えると、3回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ソタチ} }{\myBox{ツテト} }$ である。

(4) 2回目の操作で取り出した球が白球であったとき、その球を取り出した袋の色が白である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ナニ} }{\myBox{ヌネ} }$ である。

 また、3回目の操作で取り出した球が白球であったとき、はじめて白球が取り出されたのが3回目の操作である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ノハ} }{\myBox{ヒフヘ} }$ である。

考え方

状況が少しめんどくいですね。また、どの確率を求めているのか、わかりにくくなってしまうので、落ち着いて考えていきましょう。どういうケースを考えればいいのか、整理しながら考えていきます。

例えば、1回目の操作で白球を取り出す、というのは、2回目の操作が白い袋で行われる、ということと同じことです。(2)は(1)との関連で考えたほうが計算は楽になります。

(3)は少し変わった表現ですが、白い袋か赤い袋か(直前に出した球が白球が赤球か)で場合分けをして考えましょう。直接考えると計算が煩雑になるので、ヒントの意味も込めてこうした出題になっているのでしょうが、逆に、見慣れない表現が出てきてしまったため、難易度は上がってしまっています。

(4)は、条件付き確率の中でも、わりと難しい内容となっています。これも、どのケースを考えればいいのか、よく状況を整理して計算しましょう。

すべてを場合分けするのはよくありません。例えば、(3)の「3回目の操作で白球が取り出される確率」を、「1回目の袋が赤か白か」「2回目の袋が赤か白か」「3回目の袋が赤か白か」で場合分けをして足す、とやってしまうと、計算量が多すぎて時間が足らなくなってしまうでしょう。


【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

解答編

問題

 赤い袋には赤球2個と白球1個が入っており、白い袋には赤球1個と白球1個が入っている。

 最初に、さいころ1個を投げて、3の倍数の目が出たら白い袋を選び、それ以外の目が出たら赤い袋を選び、選んだ袋から球を1個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す。ここまでの操作を1回目の操作とする。2回目と3回目の操作では、直前に取り出した球の色と同じ色の袋から球を1個取り出して、球の色を確認してその袋に戻す。

(1) 1回目の操作で、赤い袋が選ばれ赤い球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ア} }{\myBox{イ} }$ であり、白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ウ} }{\myBox{エ} }$ である。

解説

まず、赤い袋が選ばれる確率を考えます。赤い袋を選ぶのは、さいころを投げて3の倍数以外の目が出たときなので、こうなる確率は $\dfrac{2}{3}$ です。

赤い袋には3個の球があり、赤球が2個入っているので、赤い袋から赤球を取り出す確率は、 $\dfrac{2}{3}$ です。

それぞれの試行は独立なので、1回目の操作で、赤い袋が選ばれ、赤球が取り出される確率は、それぞれの確率を掛けて\[ \frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9} \]となります。

同様に考えると、白い袋が選ばれる確率は $\dfrac{1}{3}$ であり、白い袋から赤球が取り出される確率は $\dfrac{1}{2}$ なので、白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は\[ \frac{1}{3}\times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\]となります。

解答

アイ:49
ウエ:16

解答編 つづき

問題

(2) 2回目の操作が白い袋で行われる確率は $\dfrac{\myBox{オ} }{\myBox{カキ} }$ である。

解説

2回目の操作が白い袋で行われるということは、直前に取り出した球の色が白だったということですね。

1回目の操作では、以下の4つのケースがあります。

・赤い袋から赤球を出す
・白い袋から赤球を出す
・赤い袋から白球を出す
・白い袋から白球を出す

このうち、下2つのケースをまとめた場合を考えればいいのですが、1つ目と2つ目の確率は(1)で求めたので、これらの和を全体から引けばいいですね。よって、\[ 1-\left(\frac{4}{9}+\frac{1}{6}\right)=\frac{7}{18} \]となることがわかります。

解答

オカキ:718

解答編 つづき

問題

(3) 1回目の操作で白球を取り出す確率を $p$ で表すと、2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }p+\dfrac{1}{3}$ で表される。

解説

2回目の操作で白球が取り出されるのは、

 (ア) 1回目で白球を出して、2回目は白い袋から白球を出す
 (イ) 1回目で赤球を出して、2回目は赤い袋から白球を出す

のどちらかです。

1回目で白球を出す確率を $p$ とすると、2回目は白い袋から白球を出すので、(ア) の確率は $\dfrac{1}{2}p$ です。

(イ)の確率を考えるにあたり、1回目で赤球を出す確率を考える必要がありますが、これは「白球を取り出さない確率」と考えれば、 $1-p$ となることがわかります。よって、(イ)の確率は $\dfrac{1}{3}(1-p)$ となります。

この2つのケースはダブりがなく、これ以外に「2回目の操作で白球を取り出す」ことはないので、この和を計算すればよく
\begin{eqnarray} \frac{1}{2}p+\frac{1}{3}(1-p)=\frac{1}{6}p+\frac{1}{3} \end{eqnarray}となることがわかります。

解答

クケ:16

解答編 つづき

問題

 よって、2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{コサ} }{\myBox{シスセ} }$ である。

 同様に考えると、3回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ソタチ} }{\myBox{ツテト} }$ である。

解説

1回目の操作で白球を取り出す確率というのは、2回目の操作を白い袋で行う確率と同じなので、 $p$ は(2)の答え、つまり、 $\dfrac{7}{18}$ です。なので、2回目の操作で白球が取り出される確率は
\begin{eqnarray} \frac{1}{6}\cdot\frac{7}{18}+\frac{1}{3}=\frac{43}{108} \end{eqnarray}となります。

また、3回目の操作で白球が取り出される確率も同じように考えましょう。2回目の操作で白球を取り出す確率を $q$ とします。3回目の操作で白球が取り出されるのは、

 (ア) 2回目で白球を出して、3回目は白い袋から白球を出す
 (イ) 2回目で赤球を出して、3回目は赤い袋から白球を出す

のどちらかです。赤球と白球の比率は2回目のときと変わっていないので、2回目のときと同じ式が得られ、3回目の操作で白球を取り出す確率は $\dfrac{1}{6}q+\dfrac{1}{3}$ となることがわかります。

この $q$ は先ほど求めた通り、 $\dfrac{43}{108}$ のことなので、
\begin{eqnarray} \frac{1}{6}\cdot\frac{43}{108}+\frac{1}{3}=\frac{259}{648} \end{eqnarray}と求められます。

解答

コサシスセ:43108
ソタチツテト:259648

解答編 つづき

問題

(4) 2回目の操作で取り出した球が白球であったとき、その球を取り出した袋の色が白である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ナニ} }{\myBox{ヌネ} }$ である。

 また、3回目の操作で取り出した球が白球であったとき、はじめて白球が取り出されたのが3回目の操作である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ノハ} }{\myBox{ヒフヘ} }$ である。

解説

2回目の操作で取り出した球が白球である確率は、(3)で求めた通り、 $\dfrac{43}{108}$ です。次に、2回目の操作で白い袋から白球を取り出す確率を考えましょう。2回目の操作を白い袋で行う確率は、(2)で求めた通り、 $\dfrac{7}{18}$ です。よって、2回目の操作で白い袋から白球を取り出す確率は
\begin{eqnarray} \dfrac{7}{18}\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{36} \end{eqnarray}となります。よって、条件付き確率は \begin{eqnarray} \frac{7}{36}\div\frac{43}{108} = \frac{21}{43} \end{eqnarray}となります。

また、3回目の操作で取り出した球が白球である確率は、(3)の後半で求めた通り、 $\dfrac{259}{648}$ です。「はじめて白球が取り出されたのが3回目の操作である」というのは、「1回目は赤球を取り出し、2回目も赤球を取り出し、3回目は白球を取り出す」ということですね。

1回目の操作で赤球を取り出す確率は、(1)の答えの和なので、 $\dfrac{11}{18}$ です。また、1回目で赤球を取り出したとき、2回目も赤球を取り出す確率は、赤い袋から赤球を取り出す確率なので $\dfrac{2}{3}$ です。2回目で赤球を取り出したとき、3回目で白球を取り出す確率は $\dfrac{1}{3}$ です。よって、「1回目は赤球を取り出し、2回目も赤球を取り出し、3回目は白球を取り出す」確率は
\begin{eqnarray} \frac{11}{18}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{22}{162} \end{eqnarray}となります。

よって、求める条件付き確率は
\begin{eqnarray} \frac{22}{162}\div\frac{259}{648} =\frac{88}{259} \end{eqnarray}となります。

解答

ナニヌネ:2143
ノハヒフヘ:88259

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