センター試験 数学I・数学A 2019年度 第1問 [2] 解説
【必答問題】
問題編
問題
二つの自然数 m, n に関する三つの条件 p, q, r を次のように定める。
p： m と n はともに奇数である
q： $3mn$ は奇数である
r： $m+5n$ は偶数であるまた、条件 $p$ の否定を $\bar{p}$ で表す。
(1) 次の $\mybox{シ}$, $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 2 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
二つの自然数 m, n が条件 $\bar{p}$ を満たすとする。このとき、 m が奇数ならば n は $\myBox{シ}$ 。また、 m が偶数ならば n は $\myBox{ス}$ 。
0：偶数である
1：奇数である
2：偶数でも奇数でもよい(2) 次の $\mybox{セ}$, $\mybox{ソ}$, $\mybox{タ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
$p$ は $q$ であるための $\myBox{セ}$ 。
$p$ は $r$ であるための $\myBox{ソ}$ 。
$\bar{p}$ は $r$ であるための $\myBox{タ}$ 。0：必要十分条件である
1：必要条件であるが、十分条件ではない
2：十分条件であるが、必要条件ではない
3：必要条件でも十分条件でもない
考え方
(1)の「ともに」の否定は、間違いやすいので注意しましょう。
(2)は、順番に考えていくしかありませんが、状況が複雑ではないので考えやすいでしょう。それぞれの条件を言い換えて考えてみたほうがわかりやすいかもしれません。
【必答問題】
解答編
問題
二つの自然数 m, n に関する三つの条件 p, q, r を次のように定める。
p： m と n はともに奇数である
q： $3mn$ は奇数である
r： $m+5n$ は偶数であるまた、条件 $p$ の否定を $\bar{p}$ で表す。
(1) 次の $\mybox{シ}$, $\mybox{ス}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 2 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
二つの自然数 m, n が条件 $\bar{p}$ を満たすとする。このとき、 m が奇数ならば n は $\myBox{シ}$ 。また、 m が偶数ならば n は $\myBox{ス}$ 。
0：偶数である
1：奇数である
2：偶数でも奇数でもよい
解説
「AかつB」の否定は、「Aでない、または、Bでない」ということに注意しましょう。
自然数 $m,n$ が条件 $\bar{p}$ を満たすということは、「 $m$ または $n$ が偶数である」ということです。なので、 $m$ が奇数なら $n$ は偶数でないといけません。 $m$ が偶数なら、 $n$ は偶数でも奇数でも構いません。
解答
シス：02
解答編 つづき
問題
(2) 次の $\mybox{セ}$, $\mybox{ソ}$, $\mybox{タ}$ に当てはまるものを、下の 0 ～ 3 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
$p$ は $q$ であるための $\myBox{セ}$ 。
$p$ は $r$ であるための $\myBox{ソ}$ 。
$\bar{p}$ は $r$ であるための $\myBox{タ}$ 。0：必要十分条件である
1：必要条件であるが、十分条件ではない
2：十分条件であるが、必要条件ではない
3：必要条件でも十分条件でもない
解説
順番に考えましょう。
$p,q$ について考えます。 $q$ の条件「 $3mn$ が奇数」ということは、 $m,n$ が両方とも奇数ということです。なので、 $p$ と同じ内容なので、必要十分条件です。
$p,r$ について考えます。 $r$ の条件「 $m+5n$ は偶数」ということは、「 $m,n$ はともに偶数、または、 $m,n$ はともに奇数」ということですね。なので、 $p$ ならば $r$ は成り立ちますが、逆は成り立ちません。よって、 $p$ は $r$ であるための十分条件、となります。
最後に、 $\bar{p},r$ について考えます。 $\bar{p}$ とは、「 $m$ または $n$ が偶数」のことです。「 $m$ が偶数で $n$ が奇数」の場合、条件 $\bar{p}$ を満たしますが、 $r$ は満たされません。一方、「 $m,n$ がともに奇数」は、 $r$ を満たしますが、 $\bar{p}$ を満たしません。よって、必要条件でも十分条件でもないことがわかります。
解答
セソタ：023