センター試験 数学I・数学A 2019年度 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) 不定方程式\[49x-23y=1\]の解となる自然数 $x,y$ の中で、 $x$ の値が最小のものは\[ x=\myBox{ア},\ y=\myBox{イウ} \]であり、すべての整数解は、k を整数として
\begin{eqnarray}
x&=&\myBox{エオ}k+\mybox{ア} \\[5pt] y&=&\myBox{カキ}k+\mybox{イウ}
\end{eqnarray}と表せる。

(2) $49$ の倍数である自然数 $A$ と $23$ の倍数である自然数 $B$ の組 $(A,B)$ を考える。 $A$ と $B$ の差の絶対値が $1$ となる組 $(A, B)$ の中で、 $A$ が最小になるのは\[ (A,B)= \left(49\times\myBox{ク}, 23\times\myBox{ケコ}\right) \]である。また、 $A$ と $B$ の差の絶対値が $2$ となる組 $(A,B)$ の中で、 $A$ が最小になるのは\[ (A,B)= \left(49\times\myBox{サ}, 23\times\myBox{シス}\right) \]である。

(3) 連続する三つの自然数 $a$, $a+1$, $a+2$ を考える。

 $a$ と $a+1$ の最大公約数は $1$
 $a+1$ と $a+2$ の最大公約数は $1$
 $a$ と $a+2$ の最大公約数は $1$ または $\myBox{セ}$

である。

 また、次の条件がすべての自然数 $a$ で成り立つような自然数 $m$ のうち、最大のものは $m=\myBox{ソ}$ である。

 条件: $a(a+1)(a+2)$ は $m$ の倍数である。

(4) $6762$ を素因数分解すると\[ 6762=2\times \myBox{タ}\times 7^{\myBox{チ}}\times\myBox{ツテ} \]である。

 $b$ を、 $b(b+1)(b+1)$ が $6762$ の倍数となる最小の自然数とする。このとき、 $b$, $b+1$, $b+2$ のいずれかは $7^{\mybox{チ}}$ の倍数であり、また、 $b$, $b+1$, $b+2$ のいずれかは $\mybox{ツテ}$ の倍数である。したがって、 $b=\myBox{トナニ}$ である。

考え方

(1)は、典型的な不定方程式です。苦手とする人が多いですが、過去に何度も出ていますね。

(2)は、(1)の計算結果を利用して考えます。(1)のおかげで、特殊解はすぐに見つかります。

(3)は突然方向が変わった感じがしますが、(4)に関連していきます。また、(4)は(2)の結果も使うことになります。例えば、 $b$ は23の倍数で $b+1$ が49の倍数なら、「49の倍数と23の倍数の差の絶対値が1」の状況が利用でき、 $b$ が23の倍数で $b+2$ が49の倍数なら、「49の倍数と23の倍数の差の絶対値が2」の状況が利用できます。23と49が出てきた時点で(2)を使う発想が出てこないといけません。