センター試験 数学I・数学A 2019年度 第1問 [3] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$a$ と $b$ はともに正の実数とする。 $x$ の2次関数\[ y=x^2+(2a-b)x+a^2+1 \]のグラフを $G$ とする。

(1) グラフ $G$ の頂点の座標は\[ \left(\frac{b}{\myBox{チ}}-a, -\frac{b^2}{\myBox{ツ}}+ab+\myBox{テ}\right) \]である。

(2) グラフ $G$ が点 $(-1,6)$ を通るとき、 $b$ のとり得る値の最大値は $\myBox{ト}$ であり、そのときの $a$ の値は $\myBox{ナ}$ である。

 $b=\mybox{ト}$, $a=\mybox{ナ}$ のとき、グラフ $G$ が2次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}$, $y$ 軸方向に $\dfrac{\myBox{ネノ}}{\myBox{ハ}}$ だけ平行移動したものである。

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考え方

(1)は平方完成をするだけですが、文字が多いので慎重に計算しましょう。

(2)は、通る点の条件から、 $a,b$ の関係式を導きましょう。後半は、(1)で頂点を求めているので、これを利用して考えましょう。