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センター試験 数学I・数学A 2019年度 第1問 [1] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 $a$ を実数とする。

 $9a^2-6a+1=\left(\myBox{ア}a-\myBox{イ}\right)^2$ である。次に\[ A=\sqrt{9a^2-6a+1}+|a+2| \]とおくと\[ A=\sqrt{\left(\mybox{ア}a-\mybox{イ}\right)^2} +|a+2| \]である。

 次の三つの場合に分けて考える。

 ・ $a\gt\dfrac{1}{3}$ のとき、 $A=\myBox{ウ}a+\myBox{エ}$ である。
 ・ $-2\leqq a\leqq \dfrac{1}{3}$ のとき、 $A=\myBox{オカ}a+\myBox{キ}$ である。
 ・ $a\lt -2$ のとき、 $A=-\mybox{ウ}a-\mybox{エ}$ である。


 $A=2a+13$ となる $a$ の値は\[ \myBox{ク},\ \dfrac{\myBox{ケコ} }{\myBox{サ} } \]である。

考え方

絶対値や根号を、場合分けをして外す問題です。場合分けの方法も書いてくれているので、誘導にのっていけば問題ないでしょう。

最後も、それぞれどのような場合を考えているか、注意して考えましょう。答えは3つではなく2つになります。


【必答問題】

解答編

問題

 $a$ を実数とする。

 $9a^2-6a+1=\left(\myBox{ア}a-\myBox{イ}\right)^2$ である。次に\[ A=\sqrt{9a^2-6a+1}+|a+2| \]とおくと\[ A=\sqrt{\left(\mybox{ア}a-\mybox{イ}\right)^2} +|a+2| \]である。

解説

\[ 9a^2-6a+1=(3a-1)^2 \]となるので、\[ A=\sqrt{(3a-1)^2}+|a+2| \]となります。

解答

アイ:31

解答編 つづき

問題

 次の三つの場合に分けて考える。

 ・ $a\gt\dfrac{1}{3}$ のとき、 $A=\myBox{ウ}a+\myBox{エ}$ である。
 ・ $-2\leqq a\leqq \dfrac{1}{3}$ のとき、 $A=\myBox{オカ}a+\myBox{キ}$ である。
 ・ $a\lt -2$ のとき、 $A=-\mybox{ウ}a-\mybox{エ}$ である。

解説

$a\geqq\dfrac{1}{3}$ のときは、 $\sqrt{(3a-1)^2}$ は $3a-1$ であり、 $a\lt \dfrac{1}{3}$ のときは $1-3a$ となります。

また、 $a\geqq -2$ のときは $|a+2|$ は $a+2$ であり、 $a\lt -2$ のときは $-a-2$ となります。

以上から、 $a\gt\dfrac{1}{3}$ のときは、\[ A=3a-1+a+2=4a+1 \]となり、$-2\leqq a\leqq \dfrac{1}{3}$ のときは、\[ A=1-3a+a+2=-2a+3 \]となり、 $a\lt -2$ のときは\[ A=1-3a-a-2=-4a-1 \]となります。

解答

ウエ:41
オカキ:-23

解答編 つづき

問題

 $A=2a+13$ となる $a$ の値は\[ \myBox{ク},\ \dfrac{\myBox{ケコ} }{\myBox{サ} } \]である。

解説

場合分けをして考えていきましょう。

$a\gt\dfrac{1}{3}$ のとき、 $A=4a+1$ なので、これが $2a+13$ と等しいなら
\begin{eqnarray} 4a+1 &=&2a+13 \\[5pt] a &=& 6 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これは $a\gt\dfrac{1}{3}$ を満たしています。

$-2\leqq a\leqq \dfrac{1}{3}$ のとき、 $A=-2a+3$ なので、これが $2a+13$ と等しいなら
\begin{eqnarray} -2a+3 &=& 2a+13 \\[5pt] -4a &=& 10 \\[5pt] a &=& -\frac{5}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となりますが、これは $-2\leqq a\leqq \dfrac{1}{3}$ を満たしません。よって、このときは解がありません。

$a\lt -2$ のとき、 $A=-4a-1$ である。これが $2a+13$ と等しいなら
\begin{eqnarray} -4a-1 &=&2a+13 \\[5pt] -6a &=&14 \\[5pt] a &=& -\frac{7}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これは $a\lt -2$ を満たしています。

以上から、解は $a=6,-\dfrac{7}{3}$ となります。

解答

ク:6
ケコサ:-73

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