センター試験 数学I・数学A 2019年度 第2問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ ABC }$ において、 $\mathrm{ AB }=3$, $\mathrm{ BC }=4$, $\mathrm{ AC }=2$ とする。
 次の $\mybox{エ}$ には、下の 0 ~ 2 のうちから当てはまるものを一つ選べ。

 $\cos\angle \mathrm{ BAC }=\dfrac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウ}}$ であり、 $\angle \mathrm{ BAC }$ は $\myBox{エ}$ である。また、 $\sin\angle \mathrm{ BAC }=\dfrac{\sqrt{\myBox{オカ}}}{\myBox{キ}}$ である。

 0: 鋭角
 1: 直角
 2: 鈍角


 線分 AC の垂直二等分線と直線 AB の交点を D とする。
$\cos\angle \mathrm{ CAD }=\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}$ であるから、 $\mathrm{ AD }=\myBox{コ}$ であり、 $\triangle \mathrm{ DBC }$ の面積は $\dfrac{\myBox{サ}\sqrt{\myBox{シス}}}{\myBox{セ}}$ である。

考え方

前半は、余弦定理や相互関係を用いる問題です。

後半は、図が正しく描けないと先に進めません。図をかくには、前半の問題がヒントになっています。 AD は、計算ではなく、図から読み取ります。最後の面積も、どのように考えるかで複雑さが変わってきますが、前半の結果を利用して解くのが一番簡単です。

ヒントは文中にありますが、どう利用するかはちょっと考えないといけません。