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センター試験 数学I・数学A 2019年度 第2問 [1] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ において、 $\mathrm{ AB }=3$, $\mathrm{ BC }=4$, $\mathrm{ AC }=2$ とする。
 次の $\mybox{エ}$ には、下の 0 ~ 2 のうちから当てはまるものを一つ選べ。

 $\cos\angle \mathrm{ BAC }=\dfrac{\myBox{アイ} }{\myBox{ウ} }$ であり、 $\angle \mathrm{ BAC }$ は $\myBox{エ}$ である。また、 $\sin\angle \mathrm{ BAC }=\dfrac{\sqrt{\myBox{オカ} }}{\myBox{キ} }$ である。

 0: 鋭角
 1: 直角
 2: 鈍角


 線分 AC の垂直二等分線と直線 AB の交点を D とする。
$\cos\angle \mathrm{ CAD }=\dfrac{\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }$ であるから、 $\mathrm{ AD }=\myBox{コ}$ であり、 $\triangle \mathrm{ DBC }$ の面積は $\dfrac{\myBox{サ}\sqrt{\myBox{シス} }}{\myBox{セ} }$ である。

考え方

前半は、余弦定理や相互関係を用いる問題です。

後半は、図が正しく描けないと先に進めません。図をかくには、前半の問題がヒントになっています。 AD は、計算ではなく、図から読み取ります。最後の面積も、どのように考えるかで複雑さが変わってきますが、前半の結果を利用して解くのが一番簡単です。

ヒントは文中にありますが、どう利用するかはちょっと考えないといけません。


解答編

問題

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ において、 $\mathrm{ AB }=3$, $\mathrm{ BC }=4$, $\mathrm{ AC }=2$ とする。
 次の $\mybox{エ}$ には、下の 0 ~ 2 のうちから当てはまるものを一つ選べ。

 $\cos\angle \mathrm{ BAC }=\dfrac{\myBox{アイ} }{\myBox{ウ} }$ であり、 $\angle \mathrm{ BAC }$ は $\myBox{エ}$ である。また、 $\sin\angle \mathrm{ BAC }=\dfrac{\sqrt{\myBox{オカ} }}{\myBox{キ} }$ である。

 0: 鋭角
 1: 直角
 2: 鈍角

解説

余弦定理から
\begin{eqnarray} \cos\angle \mathrm{ BAC } &=& \frac{\mathrm{ BA }^2+\mathrm{ AC }^2-\mathrm{ BC }^2}{2\cdot \mathrm{ BA }\cdot \mathrm{ AC } } \\[5pt] &=& \frac{3^2+2^2-4^2}{2\cdot 3\cdot 2} \\[5pt] &=& \frac{-1}{4} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $\cos$ の値が負なので、 $\angle \mathrm{ BAC }$ は鈍角となります。

また、相互関係から
\begin{eqnarray} \sin^2 \angle \mathrm{ BAC } &=& 1-\cos^2 \angle \mathrm{ BAC } \\[5pt] &=& \frac{15}{16} \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、 $\sin\angle \mathrm{ BAC }=\frac{\sqrt{15} }{4}$ となります。

解答

アイウ:-14
エ:2
オカキ:154

解答編 つづき

問題

 線分 AC の垂直二等分線と直線 AB の交点を D とする。
$\cos\angle \mathrm{ CAD }=\dfrac{\myBox{ク} }{\myBox{ケ} }$ であるから、 $\mathrm{ AD }=\myBox{コ}$ であり、 $\triangle \mathrm{ DBC }$ の面積は $\dfrac{\myBox{サ}\sqrt{\myBox{シス} }}{\myBox{セ} }$ である。

解説

図は次のようになります。 AC の中点を E としています。 $\angle \mathrm{ BAC }$ が鈍角なので、点 D は、線分 ABA 側に伸ばした直線上にあります。

$\angle \mathrm{ BAC }+\angle \mathrm{ CAD }=180^{\circ}$ なので、\[ \cos \angle \mathrm{ CAD }=-\cos\angle \mathrm{ BAC }=\frac{1}{4} \]となります。

また、三角形ADE は直角三角形で $\mathrm{ AE }=1$ だから、先ほど求めた $\cos \angle \mathrm{ CAD }=\dfrac{1}{4}$ より、 $\mathrm{ AD }=4$ となることがわかります。

また、三角形DBC の面積は、三角形ABC と三角形ACD の面積の和だと考えて求めます。 $\sin \angle \mathrm{ CAD }=\sin\angle \mathrm{ BAC }$ であることも利用して、
\begin{eqnarray} & & \frac{1}{2}\mathrm{ AB }\cdot \mathrm{ AC }\sin\angle \mathrm{ BAC } +\frac{1}{2}\mathrm{ AD }\cdot \mathrm{ AC }\sin\angle \mathrm{ CAD } \\[5pt] &=& \frac{\mathrm{ AC }\sin\angle \mathrm{ BAC } }{2} (\mathrm{ AB }+\mathrm{ AD }) \\[5pt] &=& 2\cdot\frac{\sqrt{15} }{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot (3+4) \\[5pt] &=& \frac{7\sqrt{15} }{4} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

クケ:14
コ:4
サシスセ:7154

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