センター試験 数学I・数学A 2016年度 第1問 [2] 解説

問題編

問題

次の問いに答えよ。必要ならば、 $\sqrt{7}$ が無理数であることを用いてよい。

(1) A を有理数全体の集合、B を無理数全体の集合とする。空集合を $\varnothing$ と表す。
　次の(i)～(iv)が真の命題になるように、[サ]～[セ]に当てはまるものを、下の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

　(i) $A [\ サ\ ] \{0\}$
　(ii) $\sqrt{28} [\ シ\ ] B$
　(iii) $A = \{0\} [\ ス\ ] A$
　(iv) $\varnothing= A [\ セ\ ] B$

⓪$\in$ ①$\ni$ ②$\subset$ ③$\supset$ ④$\cap$ ⑤$\cup$

(2) 実数 x に対する条件 p,q,r を次のように定める。

　p：x は無理数
　q：$x+\sqrt{28}$ は有理数
　r：$\sqrt{28}x$ は有理数

次の[ソ]、[タ]に当てはまるものを、下の0～3のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

　p は q であるための[ソ]。
　p は r であるための[タ]。

0: 必要十分条件である
1: 必要条件であるが、十分条件でない
2: 十分条件であるが、必要条件でない
3: 必要条件でも十分条件でもない

考え方

(1)は集合で使う記号について問う問題で、珍しいパターンです。

(2)は無理数・有理数に関する命題です。r を仮定したときに p が成り立つかどうか、が少し難しいかもしれません。一見、成り立ちそうですが、一つだけ例外があります。