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センター試験 数学I・数学A 2016年度 第1問 [2] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

問題編

問題

次の問いに答えよ。必要ならば、 $\sqrt{7}$ が無理数であることを用いてよい。

(1) A を有理数全体の集合、B を無理数全体の集合とする。空集合を $\varnothing$ と表す。
 次の(i)~(iv)が真の命題になるように、 $\mybox{サ}$ ~$\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の⓪~⑤のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 (i) $A \ \myBox{サ} \ \{0\}$
 (ii) $\sqrt{28} \ \myBox{シ} \ B$
 (iii) $A = \{0\} \ \myBox{ス} \ A$
 (iv) $\varnothing = A \ \myBox{セ} \ B$

⓪$\in$ ①$\ni$ ②$\subset$ ③$\supset$ ④$\cap$ ⑤$\cup$

(2) 実数 x に対する条件 p,q,r を次のように定める。

 px は無理数
 q:$x+\sqrt{28}$ は有理数
 r:$\sqrt{28}x$ は有理数

次の $\mybox{ソ}$ 、 $\mybox{タ}$ に当てはまるものを、下の0~3のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 pq であるための $\myBox{ソ}$ 。
 pr であるための $\myBox{タ}$ 。

0: 必要十分条件である
1: 必要条件であるが、十分条件でない
2: 十分条件であるが、必要条件でない
3: 必要条件でも十分条件でもない

考え方

(1)は集合で使う記号について問う問題で、珍しいパターンです。

(2)は無理数・有理数に関する命題です。r を仮定したときに p が成り立つかどうか、が少し難しいかもしれません。一見、成り立ちそうですが、一つだけ例外があります。


解答編

問題

次の問いに答えよ。必要ならば、 $\sqrt{7}$ が無理数であることを用いてよい。

(1) A を有理数全体の集合、B を無理数全体の集合とする。空集合を $\varnothing$ と表す。
 次の(i)~(iv)が真の命題になるように、 $\mybox{サ}$ ~$\mybox{セ}$ に当てはまるものを、下の⓪~⑤のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 (i) $A \ \myBox{サ} \ \{0\}$
 (ii) $\sqrt{28} \ \myBox{シ} \ B$
 (iii) $A = \{0\} \ \myBox{ス} \ A$
 (iv) $\varnothing = A \ \myBox{セ} \ B$

⓪$\in$ ①$\ni$ ②$\subset$ ③$\supset$ ④$\cap$ ⑤$\cup$

解説

簡単に記号の復習をしましょう。

$\in$ と $\ni$ は、「要素が集合に属する」ことを表すときに使います。線が開いている方に集合が来ます。$\subset$ と $\supset$ は、「ある集合が別の集合に含まれる」ことを表すときに使います。線が開いている方が「大きな集合」を表します。 $\cap$ は集合の共通部分、 $\cup$ は和集合を表します。

さて、これらをふまえて、各問題を見ていきましょう。

まず、(i)は、A が有理数の集合なので、0はこの集合に属します。ここで右側は「{0}」なので、要素ではなくて集合です。そのため、「$\supset$」が正解です。波かっこがなければ、要素だから $\ni$ が正解になるんですけどね。これは、引っかかる人がいたかもしれません。

(ii)は、$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ で無理数なので、無理数全体の集合 B に属します。これは、 $\in$ が正解です。

(iii)は、「かつ」か「または」を選ぶ問題ですね。0はAに属しているので、
「{0}かつA」なら「{0}」
「{0}またはA」なら「A
となります。よって、「または」が正解です。$\cup$ ですね。

(iv)は、答えが空集合になるものなので、「A かつ B」とすればいいですね。よって、「かつ」、つまり、 $\cap$ が正解です。

解答

サ:3
シ:0
ス:5
セ:4

参考

解答編 つづき

問題

(2) 実数 x に対する条件 p,q,r を次のように定める。

 px は無理数
 q:$x+\sqrt{28}$ は有理数
 r:$\sqrt{28}x$ は有理数

次の $\mybox{ソ}$ 、 $\mybox{タ}$ に当てはまるものを、下の0~3のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 pq であるための $\myBox{ソ}$ 。
 pr であるための $\myBox{タ}$ 。

0: 必要十分条件である
1: 必要条件であるが、十分条件でない
2: 十分条件であるが、必要条件でない
3: 必要条件でも十分条件でもない

解説

十分条件か、必要条件かを考える問題です。

まず、「px は無理数」ならば「$q:x+\sqrt{28}$ は有理数」が成り立つか考えてみます。これは、例えば $x=-\sqrt{7}$ とすれば、成り立たないことがわかります。 $p \Rightarrow q$ は成り立ちません

逆に、「$q:x+\sqrt{28}$は有理数」ならば「pxは無理数」が成り立つかを考えます。もし $x+\sqrt{28}$ が有理数で x も有理数だと、「有理数+無理数=有理数」となります。1項目を右辺に持ってくると「無理数=有理数」となってしまうので矛盾します。よって、x は無理数、つまり $q\Rightarrow p$ が成り立ちます

よって、「pq が成り立つための必要条件であるが、十分条件でない」となります。

次に、「px は無理数」ならば「$r:\sqrt{28}x$ は有理数」が成り立つかを考えてみます。これは、例えば $x=\sqrt{2}$ とすれば、成り立たないことがわかります。 $p \Rightarrow r$ は成り立ちません

一方、「$r:\sqrt{28}x$ は有理数」ならば「px は無理数」が成り立つかどうかについては、 $x=0$ の場合に成り立たないことがわかります。 $r \Rightarrow p$ も成り立ちません

$x=0$ が唯一の反例です。こういった特殊なケースが反例になることが多いので、覚えておきましょう。

今までのことをまとめると、「pr が成り立つための必要条件でも十分条件でもない」となります。

解答

ソ:1
タ:3

参考

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