センター試験 数学I・数学A 2016年度 第1問 [2] 解説

問題編

問題

次の問いに答えよ。必要ならば、 $\sqrt{7}$ が無理数であることを用いてよい。

(1) A を有理数全体の集合、B を無理数全体の集合とする。空集合を $\varnothing$ と表す。
 次の(i)~(iv)が真の命題になるように、[サ]~[セ]に当てはまるものを、下の⓪~⑤のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 (i) $A [\ サ\ ] \{0\}$
 (ii) $\sqrt{28} [\ シ\ ] B$
 (iii) $A = \{0\} [\ ス\ ] A$
 (iv) $\varnothing= A [\ セ\ ] B$

⓪$\in$ ①$\ni$ ②$\subset$ ③$\supset$ ④$\cap$ ⑤$\cup$

(2) 実数 x に対する条件 p,q,r を次のように定める。

 px は無理数
 q:$x+\sqrt{28}$ は有理数
 r:$\sqrt{28}x$ は有理数

次の[ソ]、[タ]に当てはまるものを、下の0~3のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 pq であるための[ソ]。
 pr であるための[タ]。

0: 必要十分条件である
1: 必要条件であるが、十分条件でない
2: 十分条件であるが、必要条件でない
3: 必要条件でも十分条件でもない

【広告】
本書は「超」公式集です。最強の公式だけを集めました。
『数学I・A』はたった14個、『数学II・B』はたった11個の少数精鋭です。
なぜ、こんなに少ないのか?
それは、一つ一つが基本的なのに、あなたの数学を変えてしまうくらいに深いからです。
お読みいただければわかるのですが、基本的とは簡単なことではありません。しかし、この、I・A、II・Bあわせて(たった)25個の公式をマスターした後に、あなたの目の前には新しい地平が広がっているはずです。これらの公式を九九のように覚えてしまうことによって、あなたの思考は気持ちが良いほどに身軽に、そして自由になるのです。 さあ、ぜひ本書を読んで、どんどんクリアーになっていく新しい世界をお楽しみください。
著者:松野陽一郎
出版社:旺文社
発売日:2021-09-16
ページ数:224 ページ
値段:¥1,430
(2021年09月 時点の情報です)

考え方

(1)は集合で使う記号について問う問題で、珍しいパターンです。

(2)は無理数・有理数に関する命題です。r を仮定したときに p が成り立つかどうか、が少し難しいかもしれません。一見、成り立ちそうですが、一つだけ例外があります。

1 2