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センター試験 数学I・数学A 2016年度 第4問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

問題編

問題

(1) 不定方程式\[ 92x+197y=1 \]を満たす整数 x, y の組の中で、x の絶対値が最小のものは\[ x=\myBox{アイ},\quad y=\myBox{ウエ} \]である。不定方程式\[ 92x+197y=10 \]を満たす整数 x, y の組の中で、x の絶対値が最小のものは\[ x=\myBox{オカキ},\quad y=\myBox{クケ} \]である。

(2) 2進法で $11011_{(2)}$ と表される数を4進法で表すと $\myBox{コサシ}_{(4)}$ である。

 次の 0~5 の 6進法の小数のうち、10進法で表すと有限小数として表せるのは、 $\myBox{ス}$ 、 $\myBox{セ}$ 、 $\myBox{ソ}$ である。ただし、解答の順序は問わない。

0: $0.3_{(6)}$
1: $0.4_{(6)}$
2: $0.33_{(6)}$
3: $0.43_{(6)}$
4: $0.033_{(6)}$
5: $0.043_{(6)}$

考え方

(1)は不定方程式の典型的な問題ですが、よく練習しておかないと解くのは難しいです。後半は前半の結果を使いますが、答えるものは「x の絶対値が最小のもの」であることに注意して答えましょう。

(2)は、2進数はいいとして、6進数の小数は少し変わった問題ですね。n 進法の小数の表し方がわかれば、あとはただ計算するだけですが、小数の変換までカバーできていた人は多くなかったかもしれません。


解答編

問題

(1) 不定方程式\[ 92x+197y=1 \]を満たす整数 x, y の組の中で、x の絶対値が最小のものは\[ x=\myBox{アイ},\quad y=\myBox{ウエ} \]である。

解説

このような不定方程式を解くには、まずは特殊解を見つける必要があります。

与えられた不定方程式の92に注目して、左辺を次のように変形します。
\begin{eqnarray} & &92x+197y \\ &=&92x+(92\cdot 2+13)y \\ &=&92(x+2y)+13y \end{eqnarray} ここで、 $z=x+2y$ とし、今度はこの式の13に着目して次のように変形します。
\begin{eqnarray} & &92z+13y \\ &=&(13\cdot 7+1)z+13y \\ &=&13(7z+y)+z \end{eqnarray}

このとき、最後の式が $1$ になるものとして、 $7z+y=0$, $z=1$ の組、つまり、 $y=-7$, $z=1$ があります。 $z=x+2y$ だったので、このときの x は15となります。よって、 $x=15$, $y=-7$ という特殊解が得られました。

元の式と、今見つけた x, y の組を並べて書いてみます。
\begin{eqnarray} &92&x&+&&197&y&=&1 \\ &92&\cdot 15&+&&197&\cdot (-7)&=&1 \end{eqnarray}この2つの式を辺々引くと、 $92(x-15)=-197(y+7)$ となります。92と197は互いに素なので、整数 k を用いて、 \[ x=-197k+15, y=92k-7 \] が解となることがわかります。求める解は、x の絶対値が最小のものなので、 $k=0$ のとき、つまり、 $x=15$, $y=-7$ のときであることがわかります。

解答

アイ:15、ウエ:-7

参考

解答編 つづき

問題

不定方程式\[ 92x+197y=10 \]を満たす整数 x, y の組の中で、x の絶対値が最小のものは\[ x=\myBox{オカキ},\quad y=\myBox{クケ} \]である。

解説

さきほどと係数が同じで、右辺が違うだけですね。さきほど使った式を使いまわしましょう。

\[ 92\cdot 15+197\cdot (-7)=1 \]の両辺に10を掛けると、
\[ 92\cdot 150+197\cdot (-70)=10 \]が得られます。先ほどと同様に与えられている式から辺々引くと、\[ 92(x-150)=-197(y+70) \]となるので、整数 $k$ を用いて、 $x=-197k+150$, $y=92k-70$ が解であることがわかります。

求める解は x の絶対値が最小のものなので、 $k=1$ のときです(さきほど違って $k=0$ のときではないことに注意です)。よって、$x=-47$, $y=22$ が答えになります。

解答

オカキ:-47
クケ:22

解答編 つづき

問題

(2) 2進法で $11011_{(2)}$ と表される数を4進法で表すと $\myBox{コサシ}_{(4)}$ である。

解説

2進法で表した「11011」は、まず10進法になおしてみます。
\[ 2^4+2^3+2^1+2^0=27 \]これを4で割っていくと、「123」が4進法での表記となることがわかります。

なお、2進法から4進法への変換は次のようにしてもできます。まず2進法で表した数を、右から2つずつ区切っていきます(「1,10,11」というように)。そして、それぞれを2進数から4進数に変換すると、「123」となります。こういう求め方も可能です。

解答

コサシ:123

解答編 つづき

問題

 次の 0~5 の 6進法の小数のうち、10進法で表すと有限小数として表せるのは、 $\myBox{ス}$ 、 $\myBox{セ}$ 、 $\myBox{ソ}$ である。ただし、解答の順序は問わない。

0: $0.3_{(6)}$
1: $0.4_{(6)}$
2: $0.33_{(6)}$
3: $0.43_{(6)}$
4: $0.033_{(6)}$
5: $0.043_{(6)}$

解説

6進法での小数とは、小数第一位が10進法の「1/6」を表す数字と言うことです。つまり、6進法の「0.3」というのは、10進法に変換すると、\[ 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 \]ということです。「0.3」は有限小数です。
一方、6進法で「0.4」は、10進数では「4÷6」のことなので、無限小数です。

次に、小数第2位までの小数です。6進法での0.33は、10進法で書くと\[ \frac{3}{6}+\frac{3}{36} = \frac{7}{12} \]なので、無限小数です。
一方、0.43は、\[ \frac{4}{6}+\frac{3}{36} = 0.75 \]なので、有限小数です。

最後の、0.033と0.043は、さきほどの0.33と0.43を10進法に変換して6で割ったものです。0.33を10進数に変換すると無限小数だったので、これを6で割ってもやはり無限小数です。「0.75÷6」は割り切れるので、0.043を10進法に変換したものは有限小数となります。

以上より、有限小数となるのは、0.3、0.43、0.043の3つです。

解答

ス・セ・ソ:0・3・5

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