🏠 Home / 大学入試 / センター試験 / センターIA

センター試験 数学I・数学A 2016年度 第1問 [3] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

問題編

問題

 a を1以上の定数とし、x についての連立不等式
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} x^2 + (20 - a^2)x -20a^2 \leqq 0 & & \cdots ① \\ x^2 + 4ax \geqq 0 & & \cdots ② \end{array} \right. \end{eqnarray} を考える。このとき、不等式①の解は $\myBox{チツテ}\leqq x \leqq a^2$ である。また、不等式②の解は $x\leqq \myBox{トナ}a$、$\myBox{ニ}\leqq x$ である。

 この連立不等式を満たす負の実数が存在するような a の範囲は\[1\leqq a \leqq \myBox{ヌ}\]である。

考え方

前半は因数分解ができるので、そんなに難しくないですね。後半は図を書いて、解の範囲の共通部分が存在する条件を考えましょう。


解答編

問題

 a を1以上の定数とし、x についての連立不等式
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} x^2 + (20 - a^2)x -20a^2 \leqq 0 & & \cdots ① \\ x^2 + 4ax \geqq 0 & & \cdots ② \end{array} \right. \end{eqnarray} を考える。このとき、不等式①の解は $\myBox{チツテ}\leqq x \leqq a^2$ である。また、不等式②の解は $x\leqq \myBox{トナ}a$、$\myBox{ニ}\leqq x$ である。

解説

\begin{eqnarray} x^2+(20-a^2)x-20a^2 \leqq 0 \\ (x+20)(x-a^2) \leqq 0 \end{eqnarray} なので、この解は、$-20\leqq x \leqq a^2$となります。

また、
\begin{eqnarray} x^2+4ax \geqq 0 \\ x(x+4a) \geqq 0 \end{eqnarray} となり、$a$が1以上なので、この解は、$x\leqq -4a$、$0\leqq x$となります。

解答

チツテ:-20
トナ:-4
ニ:0

参考

解答編 つづき

問題

 この連立不等式を満たす負の実数が存在するような a の範囲は\[1\leqq a \leqq \myBox{ヌ}\]である。

解説

上で求めた結果を、図にしてみましょう。

この2つの連立不等式を満たす負の実数の範囲は、$-20\leqq x \lt 0$ と $x\leqq -4a$ の共通範囲と一致します。なので、求める条件は $-20 \leqq -4a$ となります。これを解くと、 $a \leqq 5$ となります。また条件から、aは1以上なので、$1\leqq a \leqq 5$となります。

解答

ヌ:5

参考

関連するページ

YouTubeもやってます