【基本】無理関数の極限

🕒 2018/08/22 🔄 2023/06/24

ここでは、無理関数の極限について見ていきます。無理関数とは、【基本】無理関数で見たように、根号の中に文字が含まれている関数のことです。

📘 目次

無理関数の極限（そのまま代入）

例題1

次の極限を求めなさい。\[ \lim_{x\to 1} \sqrt{x^2+x} \]

$x\to 1$ とすると、ルートの中は $2$ に近づいていきます。よって、全体としては $\sqrt{2}$ に近づいていくことがわかります。\[ \lim_{x\to 1} \sqrt{x^2+x}=\sqrt{2} \]となります。

$x\to a$ としたときに、ルートの中が $\alpha$ に近づくなら、全体は $\sqrt{\alpha}$ に近づきます。なので、 $x=a$ とできる場合は、代入するだけです。

以下では、そのまま代入することができない例を見ていきましょう。

無理関数の極限（有理化）

例題2

次の極限を求めなさい。\[ \lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2+x}-x) \]

この問題では、「∞ - ∞」の形になっており、代入して値を求める、ということはできません。収束しないもの同士を引いた極限なので、この式を変形したりして極限値を求める必要があります（参考：【基本】関数の極限の性質）。

といっても、似たような話は数列のところでもやっています。【標準】数列の極限#有理化で見たように、有理化をして上手く変形していきます。
\begin{eqnarray} & & \lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2+x}-x) \\[5pt] &=& \lim_{x\to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} \\[5pt] &=& \lim_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} \\[5pt] \end{eqnarray}こうすると、分母も分子も正の無限大に発散するようになりますが、【基本】分数関数の極限で見たように、分母と分子を同じもので割ってみましょう。両方とも $x$ で割ると \begin{eqnarray} & & \lim_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} \\[5pt] &=& \lim_{x\to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}\sqrt{x^2+x}+1} \\[5pt] &=& \lim_{x\to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x} }+1} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。分母では、 $\dfrac{1}{x}$ をルートの中に入れると、ルートの中が $1$ に収束することがわかりますね。

このように、無理関数の極限では、有理化を用いて極限を求めることもあります。

無理関数の極限（マイナスとルート）

例題3

次の極限を求めなさい。\[ \lim_{x\to -\infty} (\sqrt{x^2+x}+x) \]

数列の極限は $n\to\infty$ の場合しかありません。しかし、関数の場合は $x\to -\infty$ の場合もあります。関数の極限が数列の極限と違っている点の1つです。

ただ、ほとんど先ほどと同じ感じがしますね。これも、「∞ - ∞」の形になっていますが、先ほどと同じように有理化をして計算しましょう。
\begin{eqnarray} & & \lim_{x\to -\infty} (\sqrt{x^2+x}+x) \\[5pt] &=& \lim_{x\to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2+x}+x)(\sqrt{x^2+x}-x)}{\sqrt{x^2+x}-x} \\[5pt] &=& \lim_{x\to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}-x} \\[5pt] \end{eqnarray}こうして、分母・分子を $x$ で割ればいいんだな、と思うかもしれませんが、1つ注意があります。分母にあるルートのところです。\[ \dfrac{1}{x}\sqrt{x^2+x} \]のところですが、今、 $x\to -\infty$ としたときを考えているので、 $x$ は負と考えなくてはいけません。 $x\lt 0$ のときは、 $x=-\sqrt{x^2}$ となるので、 $\dfrac{1}{x}$ をルートの中に入れた後は、\[ -\sqrt{1+\frac{1}{x} } \]となります。これにより、極限は \begin{eqnarray} & & \lim_{x\to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}-x} \\[5pt] &=& \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x} }-1} \\[5pt] &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

このように、ルートの計算では常に符号を意識する必要があります。

もし「この計算だと間違いやすそうだ」と感じる場合は、 $t=-x$ と置いて考えるのもいいでしょう。こうすると、符号が変わって $t\to\infty$ を考えることになります。関数の部分は
\begin{eqnarray} \sqrt{x^2+x}+x &=& \sqrt{(-t)^2+(-t)}+(-t) \\[5pt] &=& \sqrt{t^2-t}-t \\[5pt] \end{eqnarray}となります。このように変形してから、極限を考えれば、「変数が負だから、ルートの中に入れるときには符号を変えて…」といったことは気にせずに済みます。