共通テスト 数学II・数学B 2021年度追試 第5問 解説

【第3問~第5問から2問選択】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}\def\dBox#1{\bbox[4px, border: 2px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ \bf{ #1 }\ } }}\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ #1\ } }}$O を原点とする座標空間に2点 $\mathrm{ A }(-1,2,0)$, $\mathrm{ B }(2,p,q)$ がある。ただし、 $q\gt 0$ とする。線分 AB の中点 C から直線 OA に引いた垂線と直線 OA の交点 D は、線分 OA を $9:1$ に内分するものとする。また、点 C から直線 OB に引いた垂線と直線 OB の交点 E は、線分 OB を $3:2$ に内分するものとする。

(1) 点 B の座標を求めよう。

 $\left|\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\right|^2=\myBox{ア}$ である。また、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OD } }=\dfrac{\myBox{イ}}{\myBox{ウエ}}\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }$ であることにより、 $\overrightarrow{ \mathrm{ CD } }=\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}}\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }-\dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }$ と表される。 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\perp \overrightarrow{ \mathrm{ CD } }$ から\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OB } }=\myBox{ケ} \quad\cdots① \]である。同様に、 $\overrightarrow{ \mathrm{ CE } }$ を $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }$ を用いて表すと、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }\perp\overrightarrow{ \mathrm{ CE } }$ から\[ \left|\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }\right|^2=20 \quad\cdots② \]を得る。

 ①と②、および $q\gt 0$ から、 B の座標は $\left(2,\myBox{コ}, \sqrt{\myBox{サ}}\right)$ である。

(2) 3点 O, A, B の定める平面を $\alpha$ とし、点 $(4,4,-\sqrt{7})$ を G とする。また、 $\alpha$ 上に点 H を $\overrightarrow{ \mathrm{ GH } }\perp\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ GH } }\perp\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }$ が成り立つようにとる。 $\overrightarrow{ \mathrm{ OH } }$ を $\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }$, $\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }$ を用いて表そう。

 H が $\alpha$ 上にあることから、実数 $s,t$ を用いて\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OH } }=s\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }+t\overrightarrow{ \mathrm{ OB } } \]と表される。よって\[ \overrightarrow{ \mathrm{ GH } }=\myBox{シ}\overrightarrow{ \mathrm{ OG } }+s\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }+t\overrightarrow{ \mathrm{ OB } } \]である。これと、 $\overrightarrow{ \mathrm{ GH } }\perp\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }$ および $\overrightarrow{ \mathrm{ GH } }\perp\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }$ が成り立つことから、 $s=\dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}}$, $t=\dfrac{\myBox{ソ}}{\myBox{タチ}}$ が得られる。ゆえに\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OH } }=\dfrac{\mybox{ス}}{\mybox{セ}}\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }+\dfrac{\mybox{ソ}}{\mybox{タチ}}\overrightarrow{ \mathrm{ OB } } \]となる。また、このことから、H は $\dBox{ツ}$ であることがわかる。

$\dbox{ツ}$ の解答群

 0: 三角形 OAC の内部の点
 1: 三角形 OBC の内部の点
 2: 点 O, C と異なる。線分 OC 上の点
 3: 三角形 OAB の周上の点
 4: 三角形 OAB の内部にも周上にもない点

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考え方

空間ベクトルなので図がかきにくいですが、図をかかなくても解いていくことはできます。誘導通りに計算を進めていきましょう。最後の選択問題は、係数を見て考えましょう。中線に対して H がどちらにあるかは、係数を見ただけで判断できます。

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