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共通テスト 数学II・数学B 2021年度追試 第4問 [1] 解説

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【第3問~第5問から2問選択】

問題編

問題

 自然数 $n$ に対して、 $S_n=5^n-1$ とする。さらに、数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n$ であるとする。このとき、 $a_1=\myBox{ア}$ である。また、 $n\geqq 2$ のとき\[ a_n=\myBox{イ}\cdot\myBox{ウ}^{\ n-1} \]である。この式は $n=1$ のときも成り立つ。

 上で求めたことから、すべての自然数 $n$ に対して\[ \sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\dfrac{\myBox{エ} }{\myBox{オカ} }\left(1-\myBox{キ}^{\ -n}\right) \]が成り立つことがわかる。

考え方

等比数列に関する基本的な問題です。和からもとの数列の一般項を求めたり、等比数列の和を計算する基本的な内容なので、分野全体を一通り勉強していれば難しいところはないでしょう。計算もそれほど複雑ではありません。


解答編

問題

 自然数 $n$ に対して、 $S_n=5^n-1$ とする。さらに、数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n$ であるとする。このとき、 $a_1=\myBox{ア}$ である。また、 $n\geqq 2$ のとき\[ a_n=\myBox{イ}\cdot\myBox{ウ}^{\ n-1} \]である。この式は $n=1$ のときも成り立つ。

解説

$n=1$ のとき、 $S_1=a_1$ です。なので、\[ a_1=S_1=5^1-1=4 \]となります。

また、 $n\geqq 2$ のとき、
\begin{eqnarray} a_n &=& S_n-S_{n-1} \\[5pt] &=& 5^n-5^{n-1} \\[5pt] &=& (5-1)\cdot 5^{n-1} \\[5pt] &=& 4\cdot 5^{n-1} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。はじめに $n\geqq 2$ としていましたが、 $n=1$ のときには $4$ となるので、 $n=1$ のときもこの式は成り立ちます。

解答

ア:4
イウ:45

解答編 つづき

 上で求めたことから、すべての自然数 $n$ に対して\[ \sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\dfrac{\myBox{エ} }{\myBox{オカ} }\left(1-\myBox{キ}^{\ -n}\right) \]が成り立つことがわかる。

解説

\begin{eqnarray} & & \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \\[5pt] &=& \sum_{k=1}^n \frac{1}{4\cdot 5^{k-1} } \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\sum_{k=1}^n \frac{1}{5^{k-1} } \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できます。 $\sum$ の部分は、初項が $1$ で公比が $\dfrac{1}{5}$ の等比数列の和なので \begin{eqnarray} & & \frac{1}{4}\sum_{k=1}^n \frac{1}{5^{k-1} } \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\cdot \frac{1-\frac{1}{5^n} }{1-\frac{1}{5} } \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\left(1-\frac{1}{5^n}\right) \\[5pt] &=& \frac{5}{16}\left(1-5^{-n}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

エ:5
オカ:16
キ:5

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